Diferencia entre revisiones de «Difeomorfismo local»
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En matemáticas, un '''difeomorfismo local''' es una [[aplicación diferenciable]] ''f'' : ''M'' → ''N'' entre [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]] tal que, para cada punto ''p'' de ''M'', existe un entorno abierto ''U'' de ''p'' tal que ''f''(''U'') es abierto en ''N'' y ''f''|<sub>''U''</sub> : ''U'' → ''f''(''U'') (restricción de ''f'' a ''U'') es un [[ |
En matemáticas, un '''difeomorfismo local''' es una [[aplicación diferenciable]] ''f'' : ''M'' → ''N'' entre [[variedad diferenciable|variedades diferenciables]] tal que, para cada punto ''p'' de ''M'', existe un entorno abierto ''U'' de ''p'' tal que ''f''(''U'') es abierto en ''N'' y ''f''|<sub>''U''</sub> : ''U'' → ''f''(''U'') (restricción de ''f'' a ''U'') es un [[difeomorfismo]]. |
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Revisión del 17:37 7 may 2009
En matemáticas, un difeomorfismo local es una aplicación diferenciable f : M → N entre variedades diferenciables tal que, para cada punto p de M, existe un entorno abierto U de p tal que f(U) es abierto en N y f|U : U → f(U) (restricción de f a U) es un difeomorfismo.
Destaquemos que:
- todo difeomorfismo local es también un homeomorfismo local, luego será una aplicación abierta.
- Un difeomorfismo local y biyectivo será un difeomorfismo.
De acuerdo con el teorema de la función inversa, una aplicación diferenciable f : M → N es un difeomorfismo local si y sólo si la aplicación tangente Tpf : TpM → Tf(p)N es un isomorfismo lineal para todo punto p de M. En particular, esto implica que M y N deben tener la misma dimensión.
No todo difeomorfismo local es un difeomorfismo (global). Baste como ejemplo la aplicación F de R2 en R2 definida por
cuyo determinante jacobiano es no nulo en todo punto. Mediante el teorema de la función inversa podemos comprobar que es un difeomorfismo local. Pero no es inyectiva, puesto que f(x,y)=f(x,y+2kπ), por lo tanto no es un difeomorfismo.