0,999…

0,9 periódico (0,999…, donde el dígito 9 se repite indefinidamente), también escrito como $0,{\bar {9}}$, $0,{\dot {9}}$ ó 0,(9), denota un número real igual a 1. Es decir, las notaciones "0,999..." y "1" representan el mismo número real. Aunque aparentemente contradictoria, esta igualdad es válida y se pueden proporcionar demostraciones con diferentes grados de rigor y tiene su origen en que la representación decimal de un número real no es necesariamente única.

El hecho de que existen expansiones reales como 0,999... no se limita al sistema decimal. El mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras, y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras. Ni siquiera se trata de un fenómeno aislado a 1: todos los decimales terminales distintos de cero de un número real tienen un gemelo con infinitos nueves, como por ejemplo 28,3287 y 28,3286999….

Argumentos no formales

A continuación se comentan tres argumentos no formales para ilustrarlo y una demostración matemática que lo prueba.

0,333…	= 1⁄3
3 × 0,333…	= 3 × 1⁄3
0,999…	= 1

Multiplicación de 1/3

• Partiendo de que 1/3 = 0,333…
• Multiplicando por 3: 3 × (1/3) = 3 × 0,333… = 0,999…
• Pero entonces 0,999… debe ser forzosamente 1, puesto que (1 / 3) × 3 = 1.

x	= 0,999…
10x	= 9,999…
10x − x	= 9,999… − 0,999…
9x	= 9
x	= 1

Con x = 0,999…

• Denotando por x al número 0,999… : x = 0,999…
• Se multiplica por 10 los dos números: 10x = 9,999…
• Restando ambas expresiones: 10 x - x = 9,999… - 0,999…
• Se concluye que 9x = 9, es decir, x = 1.

0,xxx…	= x⁄9
0,999…	= 9⁄9
0,999	= 1

Con fórmula matemática

• Si $x$ es un número entero entre 0 y 8, se verifica la fórmula $0,xxx\ldots ={\frac {x}{9}}$
• Tomando el valor numérico de x como 9
• Se debería obtener que:

$0,999\ldots ={\frac {9}{9}}=1$

No existe ningún número real entre 0,999… y 1

A partir del hecho: Si dos números reales son diferentes, entonces existe al menos un tercero entre los dos, diferente de éstos. Si 0,999… y 1 fueran diferentes, sería posible encontrar un número entre ellos, por ejemplo, la media aritmética de los dos. Ahora bien, es imposible intercalar ningún número entre 0,999… y 1, y por tanto deben ser iguales.

Demostración formal

La siguiente exposición es una prueba formal a detalle, aunque debido a que 0,999… es una suma con un número infinito de términos, su evaluación rigurosa requiere de forma necesaria un concepto de cálculo infinitesimal: límite.

Por definición de representación decimal:

$0,999\ldots =0,9+0,09+0,009+\cdots ={\frac {9}{10}}+{\frac {9}{10^{2}}}+{\frac {9}{10^{3}}}+\cdots$

que es una serie geométrica (de primer término a = 9/10 y razón k = 1/10):

${\frac {9}{10}}+{\frac {9}{10^{2}}}+{\frac {9}{10^{3}}}+\cdots ={\frac {9}{10}}\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots \right)$

De esta manera, hace falta calcular el valor de la serie geométrica

$\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots \right)$.

A partir de la factorización

$x^{n+1}-1=(x-1)(x^{n}+x^{n-2}+\cdots +x+1)$

se tiene para $x\neq 1$

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots +x^{n}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}$,

y en particular, cuando $|x|<1$, el término $x^{n+1}$ tiende a cero, situación en la que la serie geométrica se puede evaluar:

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\lim _{n\to \infty }(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n})=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}={\frac {1}{1-x}}$.

Retornando a 0,999… encontramos que la serie geométrica con razón 1/10 se evalúa:

$\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots \right)={\frac {1}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1}{\frac {9}{10}}}={\frac {10}{9}}$

y por tanto

$0,999\ldots ={\frac {9}{10}}\left(1+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10^{2}}}+{\frac {1}{10^{3}}}+\cdots \right)=\left({\frac {9}{10}}\right)\left({\frac {10}{9}}\right)=1$.

como se quería demostrar.

Una demostración similar (en realidad que 10 equivale a 9,999…) aparece ya en el año 1770 en el libro Elementos de Álgebra (Vollständige Anleitung zur Algebra) de Leonhard Euler.​

Generalización

La prueba de que $0,9999\ldots$ en base 10 es exactamente 1, se puede generalizar para cualquier base no necesariamente 10.

En base $n+1$ el número $0,nnnnnnn\ldots$ es exactamente 1.

Se puede verificar que $\sum _{k=1}^{m}a^{k}={\frac {a^{m+1}-a}{a-1}}$

Entonces

${\begin{array}{rcl}0,nnn\ldots &=&n\left(n+1\right)^{-1}+n\left(n+1\right)^{-2}+n\left(n+1\right)^{-3}+\cdots \\&=&\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}n\left(m+1\right)^{-k}\\&=&\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }n\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{m+1}}\right)^{k}\\&=&\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }n{\frac {\left({\frac {1}{n+1}}\right)^{m+1}-\left({\frac {1}{n+1}}\right)}{\left({\frac {1}{n+1}}\right)-1}}\\&=&\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }1-{\frac {1}{\left(n+1\right)^{m}}}\\&=&1\end{array}}$

Es decir que en binario $0,111\ldots =1$, en octal $0,777\ldots =1$, y en sistema decimal $0,999\ldots =1$, etc.

Véase también

• Uno
• Número decimal periódico

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre 0,999….