Dimensión fractal local

La dimensión fractal local, dimensión puntual o exponente de Hölder es un límite definido punto a punto para ciertas medidas definidas sobre un espacio métrico y que puede ser usado para caracterizar dichas medidas.

Definción

La dimensión fractal local o exponente de Hölder de una medida finita definida sobre $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ se define punto a punto como el límite:

$({\mbox{dim}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}{\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}$

El límite anterior no siempre existe por lo que común mente se defienen los límites superior e inferior para la misma magnitud:​

${\begin{cases}({\underline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\inf {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\\({\overline {\mbox{dim}}}_{loc}\mu )(x)=\lim _{r\to 0}\sup {\frac {\log \mu (B(x,r))}{\log r}}\end{cases}}$

Propiedades

Si $E\subset \mathbb {R} ^{n}$ es un conjunto de Borel y $\mu \,$ es una medida finita, se cumple que:

• Si $({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\geq s$ para todo $x\in E$ y $\mu (E)>0$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\geq s$.
• Si $({\underline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.
• Si $({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ y $\mu (E)>0$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.
• Si $({\overline {\mbox{dim}}}_{loc})(x)\leq s$ para todo $x\in E$ entonces ${\mbox{dim}}_{H}E\leq s$.

Donde:

${\mbox{dim}}_{H}(\cdot )$, es la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

${\mbox{dim}}_{P}(\cdot )$, es la dimensión de empaquetado.

Aplicaciones

El análisis multifractal de una medida finita sobre un espacio métrico se usa la dimensión fractal local, que puede diferir en algunos puntos de la dimensión fractal de Hausdorff-Besicovitch, para definir el llamado espectro multifractal que se usa para caracterizar a la propia medida.

Referencia

Bibiliografía

• Falconer, Kenneth (1997). «11. Some multifractal analysis». Techniques in Fractal Geometry (en inglés). John Wiley & Sons. pp. 185-206. ISBN 0 471 95724 0. 

Véase también

• Dimensión fractal