Cuadro de oposición de los juicios

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Se llama cuadrado de oposición al esquema mediante el que se estudian las relaciones formales entre los diversos tipos de juicios aristotélicos, A, E, I, O, considerando cada juicio con términos idénticos. En su día fue considerado por el mismo Aristóteles.[1]

A = UNIVERSAL AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal; término Predicado particular; cualidad afirmativa. Todo S es P.

E = UNIVERSAL NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión universal; término Predicado universal; cualidad negativa. Ningún S es P.[2]

I = PARTICULAR AFIRMATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión particular; término Predicado en su extensión particular; cualidad afirmativa. Algún S es P.

O = PARTICULAR NEGATIVO. Término Sujeto tomado en su extensión particular; término Predicado en su extensión universal; cualidad negativa. Algún S no es P.[3]

Cuadro de oposición.

Se llaman juicios opuestos a los que teniendo los mismos términos difieren en cantidad, en cualidad o en ambas. Se representan en cada uno de los vértices del cuadrado de oposición, estableciéndose las siguientes relaciones:

A y E son contrarios porque difieren en cualidad siendo universales.

I y O son subcontrarios, porque siendo particulares difieren en la cualidad.

A con respecto a O, e I con respecto a E son contradictorios, porque difieren en cantidad y cualidad.

A con respecto a I, y E con respecto a O son subalternos porque difieren en la cantidad.

Las relaciones con respecto al valor de verdad en relación de unos y otros se muestran en los siguientes cuadros:

OPOSICIÓN JUICIOS RELACIONADOS RELACIÓN VERITATIVA
Contradictorios A - O

E - I

Si uno es verdadero el otro es falso y viceversa

Ni ambos verdaderos, ni ambos falsos.

Contrarios A - E No pueden ser ambos verdaderos

Pero pueden ser los dos falsos

Subcontrarios I - O Pueden ser ambos verdaderos

Pero no pueden ser los dos falsos

Subalternos A - I

E - O

Si el universal (A, E) es verdadero, entonces el particular (I, O) es verdadero

Pero si el particular (I, O) es verdadero entonces el universal (A, E) no es necesariamente verdadero

Cuadro de oposición - Valores de Verdad
A E I O
A es verdadero V F V F
A es falso F Ind. Ind. V
E es verdadero F V F V
E es falso Ind. F V Ind.
I es verdadero Ind. F V Ind.
I es falso F V F V
O es verdadero F Ind. Ind. V
O es falso V F V F

V= Verdadera F=Falsa Ind.= Indeterminada

Para otras posibles inferencias directas a partir de un juicio es necesario hacer unas operaciones que producen nuevos juicios: la conversión y la obversión, contraposición e inversión.

Otros cuadros de oposición[editar]

Cubo de Reichenbach[editar]

Cubo de oposición de Reichenbach

H. Reichenbach,[4] presenta un cubo de oposición en cuyos vértices se presentan las expresiones de relación de clases mediante las vocales "a" (universales) e "i" (particulares)[5] y expresando la negación como complementariedad de las clases S (sujeto) y P (predicado).[6]

Las relaciones de dichas expresiones figuran en los trazos del cubo según el cuadro siguiente:

OPOSICIÓN VÉRTICES EXPRESIONES TRAZO
Contradictorias S a P - S i \bar {P}

S i P - S a \bar {P}

\bar {S} a P - \bar {S} i \bar {P}

\bar {S} i P - \bar {S} a \bar {P}

Todo S es P --- Algún S es No-P

Algún S es P --- Todo S es No-P

Todo No-S es P --- Algún No-S es No-P

Algún No-S es P --- Todo No-S es No-P

Rojo
Contrarias S a P - S a \bar {P}

\bar {S} a P - \bar {S} a \bar {P}

Todo S es P --- Todo S es No-P (Ningún S es P)

Todo No-S es P --- Todo No-S es No-P

Negro
Contrarias oblicuas S a P -  \bar {S} a P

S a \bar {P} - \bar {S} a \bar {P}

Todo S es P --- Todo No-S es P

Todo S es No-P (ningún S es P) --- Todo No-S es No-P

Verde
Subcontrarias S i P - S i \bar {P}

\bar {S} i P - \bar {S} i \bar {P}

Algún S es P --- Algún S es No-P

Algún No-S es P --- Algún No-S es No-P

Gris
Subcontrarias oblicuas S i P - \bar {S} i P

S i \bar {P} - \bar {S} i \bar {P}

Algún S es P --- Algún No-S es P

Algún S es No-P --- Algún No-S es No-P

Amarillo
Subalternas S a P - S i P\,

S a \bar {P} - S i \bar {P}

\bar {S} a  P - \bar {S} i P

\bar {S} a \bar {P} - \bar {S} i \bar {P}

Todo S es P --- Algún S es P

Todo S es No-P (ningún S es P) --- Algún S es No-P

Todo No-S es P --- Algún No-S es P

Todo No-S es No-P --- Algún No-S es No-P

Marrón
Subalternas laterales S a P - \bar {S} i P

S i P - \bar {S} a P

S a \bar {P} - \bar {S} i \bar P

S i \bar {P} - \bar {S} a \bar {P}

Todo S es P --- Algún No-S es P

Algún S es P --- Todo No-S es P

Todo S es No-P --- Algún No-S es No-P

Algún S es No-P --- Todo No-S es No-P

Verde oscuro
Opuestas S a P - \bar {S} a \bar {P}

\bar {S} a P - S a \bar {P}

Todo S es P --- Todo No-S es No-P

Todo No-S es P --- Todo S es No-P (ningún S es P)

Azul
Subopuestas S i P - \bar {S} i \bar {P}

\bar {S} i P - S i \bar {P}

Algún S es P --- Algún No-S es No-P

Algún No-S es P --- Algún S es No-P

Morado

Hexágono de Doyle[editar]

Hexágono de J. J. Doyle.

Por su parte J. J. Doyle presenta un hexágono que representa las relaciones veritativas entre las diversas relaciones de dichas expresiones:

  • Contradicción: Si la primera proposición es verdadera, la segunda es falsa. Si la primera es falsa, la segunda es verdadera.
  • Equivalencia: Si la primera proposición es verdadera, la segunda es verdadera. Si la primera es falsa, la segunda es falsa.
  • Superimplicación: Si la primera es verdadera, la segunda es verdadera. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.
  • Subimplicación: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser verdadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda es falsa.
  • Contrariedad: Si la primera es verdadera, la segunda es falsa. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.
  • Subcontrariedad: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser verdadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda es verdadera.
  • Independencia: Si la primera es verdadera, la segunda puede ser veredadera o falsa. Si la primera es falsa, la segunda puede ser verdadera o falsa.

Oposición en lógica cuantificacional[editar]

Las tradicionales oposiciones aristotélicas se expresan como:

\bigwedge x (Fx \rightarrow Gx) \leftrightarrow \bigvee x (Fx \wedge \lnot Gx)

\bigwedge x (Fx \rightarrow \lnot Gx) \leftrightarrow \lnot \bigvee x (Fx \wedge Gx)

\bigvee x (Fx \land Gx) \leftrightarrow \lnot \bigwedge x (Fx \wedge \rightarrow \lnot Gx)

\bigvee x (Fx \land \lnot Gx) \leftrightarrow \lnot \bigwedge x (Fx \wedge \rightarrow Gx)

Las llamadas leyes de oposición simple se expresan como:

\lnot \bigwedge x Fx \leftrightarrow \bigvee x \lnot Fx

\lnot \bigvee x Fx \leftrightarrow \bigwedge x \lnot Fx

\bigwedge x Fx \leftrightarrow \lnot \bigvee x \lnot Fx

\bigvee x Fx \leftrightarrow \lnot \bigwedge x \lnot Fx

Oposición en lógica modal[editar]

Aristóteles también consideró las oposiciones modales con las limitaciones de su lógica.[7] Según Jacques Maritain[8] el fundamento de este cuadro consiste en abstraer la cantidad del dictum y en considerar solo la cantidad del modus, la cualidad del modus y la cualidad del dictum. Asimismo hay que suponer que contingente es equiparable a posible y la equivalencia de los siguientes pares de proposiciones con la proposición a la derecha:[9]

Cuadro de oposición en lógica modal.
Es imposible que no sea

No es posible que no sea

\Longleftrightarrow \; Es necesario que sea
Es necesario que no sea

No es posible que sea

\Longleftrightarrow \; Es imposible que sea
No es imposible que no sea

No es necesario que no sea

\Longleftrightarrow \; Es posible que sea
No es imposible que no sea

No es necesario que sea

\Longleftrightarrow \; Es posible que no sea

El cuadro de oposición modal con la notación simbólica de C.I.Lewis es la siguiente:

A \Longleftrightarrow \;  \big\rceil \Diamond \big\rceil p = \Box p
E \Longleftrightarrow \;  \big\rceil \Diamond p = \Box \big\rceil p
I \Longleftrightarrow \;  \Diamond p = \lceil \Box \big\rceil p
O \Longleftrightarrow \;  \Diamond p = \big \rceil p = \big\rceil \Box p

Cuadro de oposiciones modales en ASCII[editar]

Donde Np significa «necesariamente p», Pp significa «posiblemente p», N~p significa «necesariamente no p» y P~p significa «posiblemente no p»:

Np c o n t r a r i a s N~p
   c                           s
     o                       a
s n i s 
u t r u
b r o b
a a t a
l d c l
t i t
e d c e
r a t r
n r o n
a t r a
s n i s
     o                       a
   c                           s
Pp s u b c o n t r a r i a s P~p
Cuadro octogonal de oposición modal.

Cuadro octogonal de oposición modal[editar]

OPOSICIÓN VÉRTICES
Contradictorias Es necesario que todo S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que algún S no sea P

Es imposible que ningún S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que algún S sea P

Es necesario que algún S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que todo S no sea P

Es posible que todo S sea P \Longleftrightarrow \; Es imposible que algún S sea P

Contrarias Es necesario que todo S sea P \Longleftrightarrow \; Es imposible que ningún S sea P
Subcontrarias Es posible que algún S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que algún S no sea P
Subalternas Es necesario que todo S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que algún S sea P

Es imposible que ningún S sea P \Longleftrightarrow \; Es posible que algún S no sea =

Referencias[editar]

  1. En la actualidad hablaríamos de proposiciones; pero se mantiene la denominación de juicio por ser más acorde con la filosofía de Aristóteles. Hoy se considera como juicio de términos considerando que cada término significa una propiedad como una clase lógica.
  2. Propiamente Todo S es No-P, pero suele usarse en español la expresión lingüística Ningún S es P. En algunas ocasiones se produce error de interpretación cuando no se tiene en cuenta la diferencia entre la negación de una atribución y la complementariedad de una clase. Véase Individuo
  3. En la lógica actual, de la lógica de clases, se suele expresar como "S no es P". Véase diferencia en la forma de expresión lingüística de "S es no-P" y "S no es P" respecto al contenido formal del juicio aristotélico, en Silogismo
  4. En su artículo "The Syllogism Revised" en Philosophy of Science, 19, (1952), 1-16
  5. Véase silogismo
  6. Véase Silogismo
  7. De interpretatione, 22 a 34. Sobre las limitaciones de la lógica aristotélica, véase silogismo: Problemática de la lógica aristotélica
  8. Petite logique, (1923), II, 2, C
  9. Ferrater Mora op. cit.

Enlaces[editar]

Referencias[editar]

  • MITCHELL, D (1968). Introducción a la lógica. Editorial Labor, Barcelona.