Criterio de d'Alembert

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma.

Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo a infinito de {A_{n+1} \over A_n} se obtiene un número L, con los siguientes casos:

  • Si L<1, \ A_n converge.
  • Si L>1, \ A_n diverge.
  • Si L=1, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Definición[editar]

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: \sum_{n=0}^{\infty}f(n)

Tal que:

  • f(n)>0 (o sea una sucesión de términos positivos) y
  • f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=L con n tendiendo a infinito.

Así obtenemos L y se clasifica de la siguiente manera:

  • L < 1 la serie converge
  • L > 1 la serie diverge
  • L = 1 el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo[editar]

Sea: f(n)=\frac{n+1}{n!}

Clasificar \sum_{n=1}^{\infty}f(n)

a)f(n)=\frac{n+1}{n!} > 0

b) \frac{n+1}{n!} tiende a cero conforme crece n (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

c) Aplicando D'Alembert:

L=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}
=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0

y como L<1, la serie \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge.

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]