Criterio de d'Alembert

Jean le Rond d'Alembert.

El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera.

Definiendo con $n$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos $L$ al límite para $n$ tendiendo a infinito de ${A_{n+1} \over A_n}$ se obtiene un número $L$, con los siguientes casos:

• Si $L<1, \ A_n$ converge.
• Si $L>1, \ A_n$ diverge.
• Si $L=1$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: $\sum_0^{\infty}f(n)$

Tal que:

• $f(n)>0$ (o sea una sucesión de terminos positivos) y
• $f(n)$ tienda a cero cuando $n$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

$\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}=L$ con $n$ tendiendo a infinito.

Así obtenemos $L$ y se clasifica de la siguiente manera:

• $L < 1$ la serie converge
• $L > 1$ la serie diverge
• $L = 1$ el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea: $f(n)=\frac{n+1}{n!}$

Clasificar $\sum_1^{\infty}f(n)$

a)$f(n)=\frac{n+1}{n!} > 0$

b) $\frac{n+1}{n!}$ tiende a cero conforme crece $n$ (porque el factorial siempre es mayor)

c) Aplicando D'Alembert:

$L=\lim_{n \to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2} =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2} =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0$

y como $L<1$, la serie $\sum_1^{\infty}f(n)$ converge.

Véase también

• Jean Le Rond d'Alembert