Cota inferior asintótica

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En análisis de algoritmos una cota inferior asintótica es una función que sirve de cota inferior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Usualmente se utiliza la notación Ω(g(x)) para referirse a las funciones acotadas inferiormente por la función g(x).

Más formalmente se define:

\Omega(g(x)) = \left\{\begin{matrix} f(x) : \mbox{existen } c,x_0 \mbox{ constantes positivas tales que} \\ \forall x:x_0\le x: 0\le cg(x)\le f(x) \end{matrix}\right\}

Una función f(x) pertenece a Ω(g(x)) cuando existe una constante positiva c tal que a partir de un valor x_0, cg(x) no supera f(x). Quiere decir que la función f es superior a g a partir de un valor dado salvo por un factor constante.

La cota inferior asintótica tiene utilidad en Teoría de la complejidad computacional a la hora de calcular la complejidad del mejor caso para los algoritmos.

f(x)=Ω(g(x)).

A pesar de que Ω(g(x)) está definido como un conjunto, se acostumbra escribir f(x)=Ω(g(x)) en lugar de f(x) ∈ Ω(g(x)). Muchas veces también se habla de una función nombrando únicamente su expresión, como en en lugar de h(x)=x², siempre que esté claro cual es el parámetro de la función dentro de la expresión. En la gráfica se da un ejemplo esquemático de como se comporta cg(x) con respecto a f(x) cuando x tiende a infinito.

La cota ajustada asintótica (notación Θ) tiene relación con las cotas superior (notación O) e inferior asintóticas :

f(x)=\Theta(g(x)) \mbox{ si y solo si } f(x)=O(g(x)) \mbox{ y } f(x)=\Omega(g(x))

Ejemplos[editar]

  • La función puede ser acotada inferiormente por la función x. Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x≥1 se cumple x≤x². Por tanto x² = Ω(x) (sin embargo, x no sirve como cota superior para ).
  • La función x²+200x está acotada inferiormente por . Quiere decir que cuando x tiende a infinito el valor de 200x se puede despreciar con respecto al de .

Véase también[editar]

Bibliografía[editar]

  • Introduction to Algorithms, Second Edition by Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein