Conjunto de nivel

Sea $H$ un conjunto y $f:H\to \mathbb {R}$ un campo escalar sobre $H$. El conjunto de nivel $C_{k}$ para la función $f$ es el subconjunto de puntos $x$ en $H$ para los cuales $f(x)=k$.

En símbolos:

$C_{k}=\left\{x\in H\ |\ f(x)=k\right\}.$

Un conjunto de nivel puede coincidir con el conjunto vacío.

• Si $H=\mathbb {R} ^{2}$ los conjuntos de nivel son en general curvas y se las llama curvas de nivel.
• Si $H=\mathbb {R} ^{3}$ los conjuntos de nivel suelen ser superficies y se les llama superficies de nivel.
• Para dimensiones mayores, no se cuenta con una representación gráfica de estos conjuntos.

Aplicaciones

• En cartografía, las curvas de nivel unen los puntos de un mapa que se encuentran a la misma altura (cota). Cuando representan los puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como en lagos de grandes dimensiones, se denominan isóbatas
• En meteorología, las curvas de nivel se suelen usar para unir puntos que tienen la misma presión (isobaras).
• En electromagnetismo, las curvas o superficies de nivel pueden representar conjuntos que tienen un mismo potencial.

Conjuntos de nivel y gradientes

Un ejemplo de curvas de nivel (azul) y curvas integrales (rojo)

Si el conjunto $H$ coincide con $\mathbb {R} ^{n}$ y el campo escalar $f$ es de clase $C^{1}$ entonces los vectores gradiente del campo escalar son ortogonales a los conjuntos de nivel en el siguiente sentido: Sea $C_{k}$ un conjunto de nivel y $c:I\subset \mathbb {R} \to C_{k}$ una curva diferenciable. Los vectores gradiente del campo $f$ sobre la curva, son ortogonales a los vectores velocidad de la curva.

En efecto, para todo $t$ en $I$,

$f(c(t))=k\,.$

Derivando respecto de $t$ se obtiene (usando la derivada de una composición de funciones)

$\nabla f(c(t))\cdot c'(t)=0$

En particular, las curvas integrales asociadas al campo vectorial generado por el gradiente de $f$ son "ortogonales" a los conjuntos de nivel asociadas a dicha función.

En física, estas curvas integrales se las suele llamar líneas de campo o líneas de fuerza, según el contexto.

• Datos: Q126955