Collar de Antoine
En matemáticas, el collar de Antoine es un encaje topológico del conjunto de Cantor en el espacio euclídeo de 3 dimensiones cuyo complemento no está simplemente conexo. Es un contraejemplo de la afirmación de que todos los espacios de Cantor son ambientalmente homeomorfos entre sí. Fue descubierto por Louis Antoine en 1921.[1]
Construcción[editar]
El collar de Antoine se construye de forma iterativa, partiendo de un toro sólido A0 (iteración 0). Se construye un «collar» compuesto por toros más pequeños, enlazados entre sí, en el interior de A0. Este collar es A1 (iteración 1). Cada uno de los toros que conforman A1 se puede sustituir por otro collar más pequeño de la misma forma que ya se hizo para A0. Al proceder así, se obtiene A2 (iteración 2).
Este proceso se puede repetir un número infinito contable de veces para crear un An para cualquier n. El collar de Antoine, A, se define como la intersección de todas las iteraciones.
Propiedades[editar]
Como los toros sólidos se hacen arbitrariamente pequeños a medida que crece el número de la iteración, las componentes conexas de A deben ser puntos. Se puede verificar que A es cerrado, denso en sí mismo y totalmente discontinuo, que tiene la cardinalidad del continuo. Esto es suficiente para concluir que un espacio métrico abstracto A es homeomorfo al conjunto de Cantor.
El collar de Antoine fue utilizado por James Waddell Alexander en 1924[2] para construir la esfera cornuda de Antoine (similar pero no idéntica a la esfera cornuda de Alexander).
Véase también[editar]
Referencias[editar]
- ↑ Antoine, Louis (1921), «Sur l'homeomorphisme de deux figures et leurs voisinages», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 4: 221-325.
- ↑ Alexander, J. W. (1924), «Remarks on a Point Set Constructed by Antoine», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 10 (1): 10-12, Bibcode:1924PNAS...10...10A, JSTOR 84203, PMC 1085501, PMID 16576769, doi:10.1073/pnas.10.1.10. Necklace Cartier
Bibliografía adicional[editar]
- Brechner, Beverly L.; Mayer, John C. (1988), «Antoine's Necklace or How to Keep a Necklace from Falling Apart», The College Mathematics Journal 19 (4): 306-320, JSTOR 2686463, doi:10.2307/2686463.
- Pugh, Charles Chapman (2002). Real Mathematical Analysis. Springer New York. pp. 106–108. ISBN 9781441929419. doi:10.1007/978-0-387-21684-3. (requiere suscripción).
Enlaces externos[editar]
- Macho, M. (6 de mayo de 2013). «Louis Antoine y su fabuloso collar». ZTFNews.org. Consultado el 27 de abril de 2020.
- Chéritat, Arnaud (4 de enero de 2009). «El collar de Antoine». Paisajes matemáticos. CNRS. Consultado el 27 de abril de 2020.
- Esta obra contiene una traducción derivada de «Antoine's necklace» de Wikipedia en inglés, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional.
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