Anexo:Demostración de derivadas de funciones exponenciales y funciones logarítmicas

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

A continuación vamos a demostrar las derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Derivada de la función logarítmica[editar]

Tenemos una función \,f(x)=\log_a x, por la definición de derivada:

 \frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\frac{\log_a (x + h) - \log_a x}{h}

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:

 \frac{d}{dx}\log_a x = \lim_{h \to 0}\log_a \left(\frac{x + h}{x}\right)^{\frac{1}{h}} = \lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac{h}{x}\right)^{\frac{1}{h}}

Que podemos trasformar en:

 \begin{align} \frac{d}{dx}\log_a x &= \lim_{h \to 0}\log_a \left[\left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right]^{\frac{1}{x}} \\
&= \frac{1}{x}\lim_{h \to 0}\log_a \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\\
&= \frac{1}{x} \log_a \left[\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}}\right] \end{align}

Como si \,h tiende a cero \frac{x}{h}\, tiende a infinito, podemos hacer el siguiente cambio de variable:

 \lim_{h \to 0} \left(1 + \frac {1} {\frac{x}{h}}\right)^{\frac{x}{h}} = \lim_{y \to \infty} \left(1+\frac{1}{y}\right)^y

Y por la definición del número e, tenemos que:

 \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x} \log_a (e)

O, lo que es lo mismo:

 \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln(a)}

En el caso particular del logaritmo natural:

 \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}

Ya que \,\ln e = 1 .

Derivada de la función exponencial[editar]

Partimos de una función exponencial \,f(x)=a^x. Vamos a usar la derivada de la función inversa:

[f^{-1}]^{\prime}(a)=\frac{1}{f^{\prime}[f^{-1}(a)]}

Dado que a^x\, y \log_a x \, són funciones inversas, tenemos que:

\begin{align}\frac{d}{dx}a^x &= \frac{1}{[\frac{1}{x} \log_a (e)] \circ [a^x]}\\
&= \frac{1}{[\frac{1}{a^x} \log_a (e)]}\\
&= \frac{a^x}{\log_a (e)} \end{align}

O lo que es lo mismo:

 \frac{d}{dx}a^x = a^x \ln a

En el caso concreto que \,a=e, tenemos que:

 \frac{d}{dx}e^x = e^x

Ya que \,\ln e = 1.