Álgebra de Lie ortogonal generalizada

Un álgebra de Lie ortogonal generalizada es un álgebra de Lie asociada a un grupo ortogonal generalizado. Este tipo de álgebras se caracterizan por dos números enteros n y m de tal manera que para cada par de enteros positivos con m < n se tiene un tipo de álgebra ortogonal generalizada, el álgebra: ${\mathfrak {so}}(n,m)$ . La dimensión vectorial de estas álgebras de Lie viene dada por:

$\dim({\mathfrak {so}}(n,m))={\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}$

Una segunda generalización discutida en este artículo explica como construir las álgebras denominadas ${\mathfrak {so}}(n,m)$ a partir de las anteriores.

Representación y ejemplos[editar]

Álgebras so(n,m)[editar]

Existe una manera obvia de representar álgebras de Lie para valores de n y m en términos de álgebras de dimensionalidad inferior. Por ejemplo:

${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\-V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n) y V es un n-vector (columna).
${\begin{pmatrix}\mathbf {A} &V\\V^{t}&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m) y V es un (n+m)-vector.(incluyendo m = 0, por supuesto). El álgebra de Lobachevski es ${\mathfrak {so}}$ (n,1) (no álgebra de Lorentz como es usual en la literatura, una confusión con su papel en el álgebra de Poincaré, aunque la expresión común es álgebra hiperbólica).

Álgebras so(n,m,l)[editar]

La construcción anterior puede generalizarse un poco más mediante la siguiente notación:

{\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}

pertenece a

{\mathfrak {so}}

(n, m, 1) si A pertenece a

{\mathfrak {so}}

(n, m) y V es un (n+m)-vector. El álgebra euclidiana es

{\mathfrak {so}}

(n, 0, 1)!. El álgebra de Poincaré es

{\mathfrak {so}}

(n, 1, 1). En general, representa el álgebra de Lie del producto semidirecto de las traslaciones en el espacio R^n+m con SO(n, m) que tiene a

{\mathfrak {so}}

(n, m) como su álgebra de Lie.

Notación Nueva: ${\begin{pmatrix}A&V\\0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m, l+1) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m, l) y V es un (n+m+l)-vector.

En particular: ${\begin{pmatrix}A&V&X\\0&0&t\\0&0&0\end{pmatrix}}$ pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m,2) si A pertenece a ${\mathfrak {so}}$ (n, m) y V y X son (n+m)-vectores. El álgebra de Galileo es ${\mathfrak {so}}$ (n,0,2), asociado a un producto semidirecto iterado. (t es un "número", pero importante ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ da t si n>2. así que el tiempo es la parte conmutativa del grupo de Galileo).

Para completar, damos aquí las ecuaciones de estructura. El álgebra de Galileo ${\mathfrak {g}}$ es expandida por T, X_i, V_i y A_ij (tensor antisimétrico) conforme a:

[X_i, T] = 0
[X_i, X_j] = 0
[A_ij, T] = 0
[V_i, V_j] = 0
[A_ij, A_kl] = δ_ik A_jl - δ_il A_jk - δ_jk A_il + δ_jl A_ik
[A_ij, X_k] = δ_ik X_j - δ_jk X_i
[A_ij, V_k] = δ_ik V_j - δ_jk V_i
[V_i, X_j] = 0
[V_i,T]=X_i

Enlaces externos[editar]

Datos: Q6172676