Transformación activa y pasiva

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Transformaciones activas y pasivas

En la transformación activa (izquierda), un punto se mueve desde la posición P a P 'girándolo hacia la derecha en un ángulo θ sobre el origen del sistema de coordenadas. En la transformación pasiva (a la derecha), el punto P no se mueve, mientras que el sistema de coordenadas gira hacia la izquierda en un ángulo θ sobre su origen. Las coordenadas de P 'en el caso activo (es decir, en relación con el sistema de coordenadas original) son los mismos que las coordenadas de P en relación con el sistema de coordenadas girado.

En física y ingeniería, una transformación activa o transformación coartada,​ es una transformación que en realidad cambia la posición física de un punto, o cuerpo rígido, que se puede definir incluso en la ausencia de un sistema de coordenadas; mientras que una transformación pasiva o transformación alias, ​ no es más que un cambio en el sistema de coordenadas en el que el objeto se describe (cambio de coordenadas del mapa, o cambio de base). De manera predeterminada, por transformación ,los matemáticos por lo general se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos e ingenieros usan ambas.

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del 'mismo objeto' en dos sistemas de coordenadas diferentes. ​ Por otro lado, una transformación activa es una transformación de uno o varios objetos con respecto al mismo sistema de coordenadas. Por ejemplo, las transformaciones activos son útiles para describir las posiciones sucesivas de un cuerpo rígido. Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en análisis de movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur, es decir, su movimiento con respecto a un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un sistema ( global ) de coordenadas que se fija al suelo. ​

Ejemplo

Transformación pasiva ( alias ) y transformación activa ( coartada )

Transformaciones de traslaciones y rotaciones passiva (alias) o activa (alibi)

A modo de ejemplo, en el espacio vectorial ℝ² , sea { e₁ , e₂ } una base, y considerar el vector v = v¹ e₁ + v ² e₂ . A la rotación del vector a través de θ ángulo viene dado por la matriz de rotación:

$R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},$

que se puede ver ya sea como una transformación activa o una transformación pasiva (en la que se invierte la matriz anterior), como se describe a continuación.

Transformación activa

Como una transformación activa, R hace girar el vector inicial v , y un nuevo vector v' se obtiene. Para una rotación en sentido antihorario de v con respecto al sistema de coordenadas fijo:

${\vec {v}}'=R{\vec {v}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{pmatrix}}.$

Si uno ve {R e₁ , R e₂ } como una nueva base , entonces las coordenadas del nuevo vector v' en la base original son los mismos que los de v en la nueva base. Tenga en cuenta que las transformaciones activas tienen sentido, incluso como una transformación lineal en un espacio vectorial diferente. Tiene sentido para escribir el nuevo vector en la base sin imprimación (como anteriormente) sólo cuando la transformación es desde el espacio en sí mismo.

Transformación pasiva

Por otro lado, cuando uno vistas R como una transformación pasiva, el vector inicial v se deja sin cambios, mientras que el sistema de coordenadas y sus vectores base se giran. Con el fin de que el vector se mantienen fijos, las coordenadas en términos de la nueva base deben cambiar. Para un giro hacia la izquierda de los sistemas de coordenadas:

$\mathbf {v} =v^{a}\mathbf {e} _{a}=v'^{a}R\mathbf {e} _{a}.$

De esta ecuación se ve que las nuevas coordenadas (es decir, las coordenadas con respecto a la nueva base) son dadas por

$v'^{a}=(R^{-1})_{b}^{a}v^{b}$

así que esto se puede escribir como

$\mathbf {v} =v'^{a}\mathbf {e} '_{a}=v^{b}(R^{-1})_{b}^{a}R_{a}^{c}\mathbf {e} _{c}=v^{b}\delta _{b}^{c}\mathbf {e} _{c}=v^{b}\mathbf {e} _{b}.$

Por lo tanto, para que el vector se mantienen sin cambios por la transformación pasiva, las coordenadas del vector debe transformar de acuerdo con la inversa de la transformación operador activo.​

Ver también

• Cambio de la base
• Covariancia y contravariancia
• Rotación de ejes
• Traslación de ejes

Referencias

• en:Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 84, Addison-Wesley.

Enlaces externos

• ambigüedad UI

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