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La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la [[serie de Grandi]] {{nowrap|1 − 1 + 1 − 1 + · · ·}}. Euler analizó estas dos series como casos especiales de {{nowrap|1 − 2<sup>''n''</sup> + 3<sup>''n''</sup> − 4<sup>''n''</sup> + · · ·}} para valores de ''n'' arbitrarios, una linea de investigación que extiende su trabajo en el [[problema de Basilea]] y conduce hacia las [[ecuaciones funcionales]] de lo que conocemos hoy como la [[función eta de Dirichlet]] y la [[función zeta de Riemann]]. |
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*{{cite book |last=Beals |first=Richard |title=Analysis: an introduction |year=2004 |publisher=Cambridge UP |isbn= 0-521-60047-2}} |
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*{{cite book |last=Davis |first=Harry F. |title=Fourier Series and Orthogonal Functions |year=1989 |month=May |publisher=Dover |isbn= 0-486-65973-9}} |
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*{{cite journal |author=Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler |title=Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques |journal=Memoires de l'academie des sciences de Berlin |year=1768, 2006 |volume=17 |pages=83-106 |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html}} |
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*{{cite journal |last=Ferraro |first=Giovanni |title=The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics |journal=Archive for History of Exact Sciences |year=1999 |month=June |volume=54 |issue=2 |pages=101-135 |id={{doi|10.1007/s004070050036}}}} |
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*{{cite book |last=Grattan-Guinness |authorlink=Ivor Grattan-Guinness |first=Ivor |year=1970 |title=The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann |publisher=MIT Press |isbn= 0-262-07034-0}} |
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*{{cite book |last=Hardy |first=G.H. |authorlink=G. H. Hardy |title=Divergent Series |year=1949 |publisher=Clarendon Press |id={{LCCN|91|0|75377}}}} |
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*{{cite journal |last=Kline |first=Morris |authorlink=Morris Kline |title=Euler and Infinite Series |journal=Mathematics Magazine |volume=56 |issue=5 |year=1983 |month=November |pages=307-314 |url=http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X%28198311%2956%3A5%3C307%3AEAIS%3E2.0.CO%3B2-M}} |
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*{{cite book |first=Shaughan |last=Lavine |title=Understanding the Infinite |year=1994 |publisher=Harvard UP |isbn= 0674920961}} |
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*{{cite book |last=Markushevich |first=A.I. |title=Series: fundamental concepts with historical exposition |year=1967 |edition=English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian |publisher=Hindustan Pub. Corp. |id={{LCCN|68|0|17528}}}} |
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*{{cite book |author=Saichev, A.I., and W.A. Woyczyński |title=Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1 |publisher=Birkhaüser |year=1996 |isbn= 0-8176-3924-1}} |
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*{{cite journal |last=Tucciarone |first=John |title=The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925 |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=10 |issue=1-2 |year=1973 |month=January |pages=1-40 |id={{doi|10.1007/BF00343405}}}} |
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Revisión del 08:08 17 mar 2007
En matemáticas, 1 − 2 + 3 − 4 + · · · es una serie infinita cuyos términos son los números enteros positivos, que van alternando sus signos. La serie es una serie divergente, en el sentido que la secuencia de sus sumas parciales (1, −1, 2, −2, …) no tiende a ningún límite finito. En forma equivalente se dice que no existe la suma de 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·.
Sin embargo, a mediados del siglo XVIII, Leonhard Euler escribió la siguiente formula indicando era una paradoja:
Una explicación rigurosa de dicha ecuación no se encontraría hasta mucho tiempo después. Hacia comienzos de la década de 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel, investigaron métodos bien definidos de encontrar sumas generalizadas a las series divergentes – incluyendo nuevas interpretaciones de los intentos realizados por Euler. Muchos de estos métodos de sumar le asignan a 1 − 2 + 3 − 4 + · · · una "suma" de 1⁄4. El método de suma de Cesàro| es uno de los pocos métodos que no suma la serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, y por lo tanto hace que dicha serie requiera de un método más robusto como el método de suma de Abel.
La serie 1 − 2 + 3 − 4 + · · · se encuentra relacionada con la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Euler analizó estas dos series como casos especiales de 1 − 2n + 3n − 4n + · · · para valores de n arbitrarios, una linea de investigación que extiende su trabajo en el problema de Basilea y conduce hacia las ecuaciones funcionales de lo que conocemos hoy como la función eta de Dirichlet y la función zeta de Riemann.
Notes
References
- Beals, Richard (2004). Analysis: an introduction. Cambridge UP. ISBN 0-521-60047-2.
- Davis, Harry F. (May de 1989). Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover. ISBN 0-486-65973-9.
- Euler, Leonhard; Lucas Willis; and Thomas J Osler (1768, 2006). «Translation with notes of Euler's paper: Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques». Memoires de l'academie des sciences de Berlin 17: 83-106.
- Ferraro, Giovanni (June de 1999). «The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics». Archive for History of Exact Sciences 54 (2): 101-135. doi 10.1007/s004070050036.
- Grattan-Guinness, Ivor (1970). The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann. MIT Press. ISBN 0-262-07034-0.
- Hardy, G.H. (1949). Divergent Series. Clarendon Press. LCCN 91075377.
- Kline, Morris (November de 1983). «Euler and Infinite Series». Mathematics Magazine 56 (5): 307-314.
- Lavine, Shaughan (1994). Understanding the Infinite. Harvard UP. ISBN 0674920961.
- Markushevich, A.I. (1967). Series: fundamental concepts with historical exposition (English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian edición). Hindustan Pub. Corp. LCCN 68017528.
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- Tucciarone, John (January de 1973). «The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925». Archive for History of Exact Sciences 10 (1-2): 1-40. doi 10.1007/BF00343405.
- Vretblad, Anders (2003). Fourier Analysis and Its Applications. Springer. ISBN 0387008365.
- Weidlich, John E. (June de 1950). Summability methods for divergent series. Stanford M.S. theses. OCLC 38624384.