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En matemáticas, y específicamente en teoría de la medida, la equivalencia es la noción de que dos medidas son cualitativamente similares. Específicamente, las dos medidas coinciden en qué eventos tienen medida cero.
Definición
Dejar y ser dos medidas en el espacio mensurable y deja
y
ser los conjuntos de - conjuntos nulos y -conjuntos nulos, respectivamente. Entonces la medida se dice que es absolutamente continuo en referencia a si y solo si Esto se denota como
Las dos medidas se llaman equivalentes si y sólo si y [1] que se denota como Es decir, dos medidas son equivalentes si satisfacen
Ejemplos
En la recta real
Defina las dos medidas en la recta real como
para todos los conjuntos Borel Entonces y son equivalentes, ya que todos los conjuntos fuera de tener y medida cero, y un conjunto dentro es un -conjunto nulo o un -conjunto nulo exactamente cuando es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue.
Espacio de medida abstracto
Mira un espacio mensurable y deja ser la medida de conteo, entonces
dónde es la cardinalidad del conjunto a. Entonces la medida de conteo tiene solo un conjunto nulo, que es el conjunto vacío. Eso es, Entonces, según la segunda definición, cualquier otra medida es equivalente a la medida de conteo si y solo si también tiene solo el conjunto vacío como único -conjunto nulo.
Medidas de apoyo
Una medida se llama unsupporting measure de una medida si es -finito y es equivalente a [2]
Referencias
- ↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 156. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.
- ↑ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Switzerland: Springer. p. 21. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.