Parametrización de Weierstrass-Enneper

Plantilla:Short description En matemáticas, la parametrización Weierstrass-Enneper de superficie minimal es una pieza clásica de geometría diferencial.

Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

La parametrización de Weierstrass facilita la generación de superficies mínimas periódicas

Sean $f$ y $g$ funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde $g$ es meromorfa y $f$ es analítica, de modo que dondequiera que $g$ tenga un polo de orden $m$, $f$ tenga un cero de orden $2m$ (o equivalentemente, tal que el producto $fg^{2}$ es holomorfa), y sean $c_{1},c_{2},c_{3}$ constantes. Entonces la superficie con coordenadas $(x_{1},x_{2},x_{3})$ es mínima, donde las $x_{k}$ se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:

${\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}$

Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.​

Por ejemplo, Superficie de Enneper tiene f(z)= 1, g(z)= z^m.

Superficie paramétrica de variables complejas

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima $X$ ($\mathbb {R} ^{3}$) en un plano complejo ($\mathbb {C}$). Sea $\omega =u+vi$ (el plano complejo como el espacio $uv$), el Jacobian matrix de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:

$\mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}$

donde $f(\omega )$ y $g(\omega )$ son funciones holomorfas de $\omega$.

El jacobiano $\mathbf {J}$ representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:​

$\mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}$

La superficie normal está dada por

$\mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}$

El jacobiano $\mathbf {J}$ conduce a una serie de propiedades importantes: $\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0$, $\mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})$, $\mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0$. Las pruebas se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: La representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima.​ Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz first fundamental form:

${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

y la matriz second fundamental form

${\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}$

Finalmente, un punto $\omega _{t}$ en el plano complejo se asigna a un punto $\mathbf {X}$ en la superficie mínima en $\mathbb {R} ^{3}$ mediante

$\mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}$

donde $\omega _{0}=0$ para todas las superficies mínimas en este documento excepto Costa's minimal surface donde $\omega _{0}=(1+i)/2$.

Superficies mínimas empotradas y ejemplos

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas incrustadas en $\mathbb {R} ^{3}$ con topología finita incluyen el plano, catenoide, helicoide y Costa's minimal surface. La superficie de Costa involucra Funciones elípticas de Weierstraß $\wp$:​

$g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}$

$f(\omega )=\wp (\omega )$

donde $A$ es una constante.​

Helicatenoide

Eligiendo las funciones $f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}$ y $g(\omega )=e^{-\omega /A}$ se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro.

$\varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)$

$\varphi _{3}=e^{-i\alpha }$

$\mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}$

Eligiendo los parámetros de la superficie como $\omega =s+i(A\phi )$:

$\mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}$

En los extremos, la superficie es una catenoide $(\alpha =0)$ o una helicoidal $(\alpha =\pi /2)$. De lo contrario, $\alpha$ representa un ángulo de mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje $\mathbf {X} _{3}$ de forma helicoidal.

A catenary that spans periodic points on a helix, subsequently rotated along the helix to produce a minimal surface.

The fundamental domain (C) and the 3D surfaces. The continuous surfaces are made of copies of the fundamental patch (R3)

Líneas de curvatura

Se puede reescribir cada elemento del segundo fundamental matrix en función de $f$ y $g$, por ejemplo

$\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')$

Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como

${\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}$

Lines of curvature make a quadrangulation of the domain

Uno de sus vectores propios es: ${\overline {\sqrt {fg'}}}$ que representa la dirección principal en el dominio complejo.​ Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio $uv$ resultan ser

$\phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2$

Véase también

• Familia asociada
• Bryant surface, encontrado mediante una parametrización análoga en espacio hiperbólico

Referencias

• Datos: Q7979830