Diferencia entre revisiones de «Cono dual y cono polar»

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El cono dual y el cono polar' son conceptos estrechamente relacionados en el análisis de convexidad, una rama de matemáticas.

Cono dual

En un espacio vectorial

El cono dual'C^* de un subconjunto C en un espacio vectorial X sobre los real, p.e. Espacio euclídeo Rn, siendo espacio dual X^* el conjunto

C^{*}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\},

donde $\langle y,x\rangle$ es el duality pairing entre X y X^*, es decir, $\langle y,x\rangle =y(x)$ .

C^* es siempre convex cone, incluso si C no es ni convex ni cone.

En un espacio vectorial topológico

Si X es un espacio vectorial topológico sobre números reales o complejos, entonces el cono dual de un subconjunto C ⊆ X es el siguiente conjunto de funcionales lineales continuos en ' 'X:

C^{\prime }:=\left\{f\in X^{\prime }:\operatorname {Re} \left(f(x)\right)\geq 0{\text{for all }}x\in C\right\}

,^[1]

que es el polar del conjunto -C. ^[1] No importa qué sea "C", $C^{\prime }$ será un cono convexo. Si C ⊆ {0} entonces $C^{\prime }=X^{\prime }$ .

En un espacio de Hilbert (cono dual interno)

Alternativamente, muchos autores definen el cono dual en el contexto de un Espacio de Hilbert real (como Rⁿ equipado con el producto interno euclidiano) como lo que a veces se llama el cono dual interno.

C_{\text{internal}}^{*}:=\left\{y\in X:\langle y,x\rangle \geq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Usando esta última definición para C^*, tenemos que cuando C es un cono, se cumplen las siguientes propiedades:^[2]

Un vector y distinto de cero está en C^* si y solo si se cumplen las dos condiciones siguientes:

y es un normal en el origen de un hiperplano que supports C.
y y C se encuentran en el mismo lado del hiperplano de soporte.

C^* es closed y convexo.
$C_{1}\subseteq C_{2}$ implica $C_{2}^{*}\subseteq C_{1}^{*}$ .
Si C tiene un interior no vacío, entonces C^* es puntiagudo, es decir, C* no contiene ninguna línea en su totalidad.
Si C es un cono y el cierre de C es puntiagudo, entonces C^* tiene un interior no vacío.
C^** es el cierre del cono convexo más pequeño que contiene C (una consecuencia de teorema del hiperplano de separación)

Conos duales

Se dice que un cono C en un espacio vectorial X es autodual si X puede equiparse con un espacio prehilbertiano ⟨⋅,⋅⟩ tal que el cono dual interno relativo a este producto interno es igual a C.^[3] Aquellos autores que definen el cono dual como el cono dual interno en un espacio de Hilbert real suelen decir que un cono es autodual si es igual a su dual interno. Esto es ligeramente diferente de la definición anterior, que permite un cambio de producto interno. Por ejemplo, la definición anterior hace que un cono en Rⁿ con base elipsoidal sea autodual, porque el producto interno se puede cambiar para hacer que la base sea esférica, y un cono con base esférica en Rⁿ es igual a su dual interno.

El ortante no negativo de Rⁿ y el espacio de todos los positive semidefinite matrices son autoduales, al igual que los conos con base elipsoidal (a menudo llamados "conos esféricos", "conos de Lorentz" o, a veces, "conos de helado"). "). También lo son todos los conos en R³ cuya base es la cáscara convexa de un polígono regular con un número impar de vértices. Un ejemplo menos habitual es el cono de 'R³ cuya base es la "casa": el casco convexo de un cuadrado y un punto fuera del cuadrado que forman un triángulo equilátero (de la altura adecuada) con uno de los lados del cuadrado.

Cono polar

Para un conjunto C en X, el cono polar de C es el conjunto^[4]

C^{o}=\left\{y\in X^{*}:\langle y,x\rangle \leq 0\quad \forall x\in C\right\}.

Se puede ver que el cono polar es igual al negativo del cono dual, es decir, C^o = −C^*.

Para un cono convexo cerrado C en X, el cono polar es equivalente al polar set para C.^[5]

Véase también

Referencias

↑ ^a ^b Schaefer y Wolff, 1999, pp. 215–222.
↑ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. pp. 51-53. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el October 15, 2011.
↑ Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.
↑ Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121-122. ISBN 978-0-691-01586-6.
↑ Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 edición). Springer. p. 215. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.

Bibliografía

Boltyanski, V. G.; Martini, H.; Soltan, P. (1997). Excursions into combinatorial geometry. New York: Springer. ISBN 3-540-61341-2.
Goh, C. J.; Yang, X.Q. (2002). Duality in optimization and variational inequalities. London; New York: Taylor & Francis. ISBN 0-415-27479-6.
Plantilla:Narici Beckenstein Topological Vector Spaces
Ramm, A.G. (2000). Shivakumar, P.N.; Strauss, A.V., eds. Operator theory and its applications. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1990-9.
Plantilla:Schaefer Wolff Topological Vector Spaces

Datos: Q2687694

[FOOTNOTESchaeferWolff1999215–222-1] Schaefer y Wolff, 1999, pp. 215–222.

[Boyd-2] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. pp. 51-53. ISBN 978-0-521-83378-3. Consultado el October 15, 2011.

[3] Iochum, Bruno, "Cônes autopolaires et algèbres de Jordan", Springer, 1984.

[Rockafellar-4] Rockafellar, R. Tyrrell (1997) [1970]. Convex Analysis. Princeton, NJ: Princeton University Press. pp. 121-122. ISBN 978-0-691-01586-6.

[5] Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 edición). Springer. p. 215. ISBN 978-3-540-32696-0. doi:10.1007/3-540-29587-9.

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