Cuchilla (vector)

En el estudio de álgebra geométrica, una k-cuchilla (nombre original en inglés, "k-blade"), o también un k-vector simple es una generalización del concepto de escalares y vectores para incluir bivectores simples, o trivectores o cualquier tipo de multivectores. Específicamente, una k-cuchilla es un k-vector que puede expresarse como producto exterior (informalmente, producto de cuña) de 1-vectores, y es de "grada" k.

En detalle:​

• Una 0-cuchilla es un escalar.
• Una 1-cuchilla es un vector. Cada vector es simple.
• Una 2-cuchilla es un bivector simple. Las sumas de 2-cuchillas también son bivectores, pero no siempre simples. Una 2-cuchilla se puede expresar como el producto de cuña de dos vectores a y b:

  $a\wedge b.$

• Una 3-cuchilla es un trivector simple, es decir, puede expresarse como el producto de cuña de tres vectores a, b y c:

  $a\wedge b\wedge c.$

• En un espacio vectorial de dimensión n, una cuchilla de grado n − 1 se llama pseudovector​ o antivector.​
• El elemento de mayor grado en un espacio se llama pseudoescalar, y en un espacio de dimensión n es una n-cuchilla.​
• En un espacio vectorial de dimensión n, hay k(n − k) + 1 grados de libertad para elegir una k-cuchilla para 0 ≤ k ≤ n, de las que una dimensión es un multiplicador de escala general.​

Un subespacio vectorial de dimensión finita k puede representarse mediante la k-cuchilla formada como un producto de cuña de todos los elementos de una base para ese subespacio.​ De hecho, una k-cuchilla es naturalmente equivalente a un subespacio k dotado de una forma de volumen (una función escalar multilineal alterna k) normalizada para tomar un valor unitario en la k-cuchilla.

Ejemplos

En el espacio bidimensional, los escalares se describen como 0-cuchillas, los vectores son 1-cuchillas y los elementos con área son 2-cuchillas, en este contexto conocidos como pseudoescalares, ya que son elementos de un espacio unidimensional distinto de los escalares regulares.

En el espacio tridimensional, las 0-cuchillas son nuevamente escalares y las 1-cuchillas son vectores tridimensionales, mientras que las 2-cuchillas son elementos de área orientada. En este caso, las 3-cuchillas se denominan pseudoescalares y representan elementos de volumen tridimensionales, que forman un espacio vectorial unidimensional similar a los escalares. A diferencia de los escalares, las 3-cuchillas se transforman según el determinante jacobiano de una función de cambio de coordenadas.

Véase también

• Grasmaniano
• Multivector
• Producto exterior
• Forma diferencial
• Álgebra geométrica
• Álgebra de Clifford

Referencias

• David Hestenes; Garret Sobczyk (1987). «Chapter 1: Geometric algebra». Clifford Algebra to Geometric Calculus: A Unified Language for Mathematics and Physics. Springer. p. 1 ff. ISBN 90-277-2561-6. 
• Chris Doran; Anthony Lasenby (2003). Geometric algebra for physicists. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48022-1. 
• A Lasenby, J Lasenby & R Wareham (2004) Un enfoque covariante de la geometría utilizando geometría Informe técnico de álgebra . Departamento de Ingeniería de la Universidad de Cambridge, Cambridge, Reino Unido.
• R Wareham; J Cameron; J Lasenby (2005). «Applications of conformal geometric algebra to computer vision and graphics». En Hongbo Li; Peter J Olver; Gerald Sommer, eds. Computer algebra and geometric algebra with applications. Springer. p. 329 ff. ISBN 3-540-26296-2. 

Enlaces externos

• A Geometric Algebra Primer, especialmente para informáticos.

• Datos: Q4923680