Operad

En matemáticas, se llama operad a una estructura construida a partir de operaciones abstractas, cada una de las cuales tiene un número finito de entradas (argumentos) y una sola salida como resultado, así como unas reglas sobre como se deben componer esas operaciones. Dado un operad $O$, se define un álgebra sobre $O$ como un conjunto dotado de operaciones en sus elementos de forma que se comportan como las operaciones abstractas de $O$. Por ejemplo, existe el llamado operad de Lie $L$ tal que las álgebras sobre $L$ son precisamente las álgebras de Lie. De esta manera, el operad $L$ es una forma de abstraer en un objeto matemático las operaciones que comparten entre sí todas las álgebras de Lie. El operad de relaciona con sus álgebras de manera similar a como un grupo se relaciona con las representaciones del grupo.

La teoría de operads tiene su origen en la topología algebraica, donde fueron introducidas en 1969 por J. Michael Boardman y Rainer M. Vogt con el fin de caracterizar ciertos espacios de lazos. ​ y por J. Peter Mayin 1970 ​. May creó la palabra "operad" como un acrónimo de "operaciones" y " mónada " , a lo que se une también el hecho de que su madre era cantante de ópera. ​

El interés por la teoría de operads recobró actualidad a finales del siglo XX a partir de que, basándose en las primeras ideas de Maxim Kontsevich, Victor Ginzburg y Mikhail Kapranov descubrieron que algunos fenómenos de dualidad en la teoría de la homotopía racional podían explicarse utilizando la llamada dualidad de operads de Koszul. ​ ​ Desde entonces, las operaciones han encontrado muchas aplicaciones como, por ejemplo, en la cuantización por deformación de las variedades de Poisson, en la conjetura de Deligne, o la homología de grafos dentro de los trabajos de Maxim Kontsevich y Thomas Willwacher .

Referencias

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• Martin Markl, Steve Shnider, Jim Stasheff (2002). Operads in Algebra, Topology and Physics. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8. 
• «Operads and PROPs». . 
• Stasheff, Jim (June–July 2004). «What Is...an Operad?». Notices of the American Mathematical Society 51 (6): 630-631. Consultado el 17 January 2008. 
• Loday, Jean-Louis; Vallette, Bruno (2012), Algebraic Operads, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 346, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-30361-6 .
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• Miguel A. Mendéz (2015). Set Operads in Combinatorics and Computer Science. SpringerBriefs in Mathematics. ISBN 978-3-319-11712-6ISBN 978-3-319-11712-6.
• Samuele Giraudo (2018). Nonsymmetric Operads in Combinatorics. Springer International Publishing. ISBN 978-3-030-02073-6ISBN 978-3-030-02073-6.

Enlaces externos

• operad at the nLab
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html