Notación de Schoenflies

La notación de Schoenflies (o también de Schönflies), llamada así por el matemático alemán Arthur Moritz Schönflies, es una notación utilizada principalmente para especificar grupos de puntos en tres dimensiones. Debido a que un grupo de puntos por sí solo es completamente adecuado para describir la simetría de una molécula, la notación suele ser suficiente y se usa comúnmente en espectroscopia. Sin embargo, en cristalografía, hay simetría traslacional adicional, y los grupos de puntos no son suficientes para describir la simetría completa de los cristales, por lo que generalmente se usa el grupo espacial completo en su lugar. La denominación de grupos de espacio completo suele seguir otra convención común, la notación de Hermann–Mauguin, también conocida como notación internacional.​

Aunque la notación de Schoenflies sin superíndices es una notación de grupo de puntos pura, opcionalmente, se pueden agregar superíndices para especificar aún más los grupos de espacios individuales. Sin embargo, para los grupos espaciales, la conexión con los elementos de simetría subyacentes es mucho más clara en la notación de Hermann-Mauguin, por lo que generalmente se prefiere esta última notación para los grupos espaciales.

Elementos de simetría

Los elementos de simetría se denotan con i para los centros de inversión, C para los ejes de rotación correctos, σ para los planos del espejo y S para la rotación incorrecta ejes (rotación impropia). C y S suelen ir seguidos de un número de subíndice (denominado de forma abstracta como n) que indica el orden de rotación posible.

Por convención, el eje de rotación propia de mayor orden se define como el eje principal. Todos los demás elementos de simetría se describen en relación con él. Un plano de espejo vertical (que contiene el eje principal) se denota σ_v; un plano de espejo horizontal (perpendicular al eje principal) se denota σ_h.

Grupos de puntos

Véase también: Molecular symmetry

En tres dimensiones, hay un número infinito de grupos de puntos, pero todos ellos se pueden clasificar en varias familias.

• C_n (para cyclic) tiene un eje de rotación de n.
  • C_nh es C_n con la adición de un plano de espejo (reflexión) perpendicular al eje de rotación (plano horizontal).
  • C_nv es C_n con la adición de n planos de simetría que contienen el eje de rotación (planos verticales).
• C_s denota un grupo con solo un plano de espejo (para Spiegel, espejo en alemán) y ningún otro elemento de simetría.
• S_2n (para Spiegel, alemán para espejo) contiene solo un rotación impropia de 2n. El índice debe ser par porque cuando n es impar, un eje de rotación-reflexión de n es equivalente a una combinación de un eje de rotación de n y un plano perpendicular, por lo tanto S_n = C_nh para n impar.
• C_ni solo tiene un rotoinversion axis. Esta notación rara vez se usa porque cualquier eje de rotoinversión se puede expresar como un eje de rotación-reflexión: Para n impar, C_ni = S_2n y C_2ni = S_n = C_nh, y para incluso n, C_2ni = S_2n. Solo se usa comúnmente la notación C_i (que significa C_1i), y algunas fuentes escriben C_3i, C_5i, etc.
• D_n (para dihedral, o de dos lados) tiene un eje de rotación de n más ejes dobles de n perpendiculares a ese eje.
  • D_nh tiene, además, un plano de espejo horizontal y, en consecuencia, también n planos de espejo verticales, cada uno de los cuales contiene el eje de pliegues 'n' y uno de los ejes de pliegues dobles.
  • D_nd tiene, además de los elementos de D_n, n planos verticales de espejo que pasan entre dos ejes (planos diagonales).
• T (el grupo tetrahedral quiral) tiene los ejes de rotación de un tetraedro (tres ejes de 2 pliegues y cuatro ejes de 3 pliegues).
  • T_d incluye planos de espejo diagonales (cada plano diagonal contiene solo un eje doble y pasa entre otros dos ejes dobles, como en D_2d). Esta adición de planos diagonales da como resultado tres operaciones de rotación incorrectas S₄.
  • T_h incluye tres planos de espejo horizontales. Cada plano contiene dos ejes dobles y es perpendicular al tercer eje doble, lo que da como resultado el centro de inversión i.
• O (el grupo octahedral quiral) tiene los ejes de rotación de un octaedro o cubo (tres ejes de 4 pliegues, cuatro ejes de 3 pliegues y seis ejes diagonales de 2 pliegues).
  • O_h incluye planos de espejo horizontales y, en consecuencia, planos de espejo verticales. Contiene también centro de inversión y operaciones de rotación impropias.
• I (el grupo icosahedral quiral) indica que el grupo tiene los ejes de rotación de un icosaedro o dodecaedro (seis ejes de 5 pliegues, diez ejes de 3 pliegues y 15 ejes de 2 pliegues).
  • I_h incluye planos de espejo horizontales y también contiene operaciones de centro de inversión y rotación incorrecta.

Todos los grupos que no contienen más de un eje de orden superior (orden 3 o más) se pueden organizar como se muestra en la tabla a continuación; los símbolos en rojo rara vez se utilizan.

	n= 1	2	3	4	5	6	7	8	...	∞
Cn	C1	C2	C3	C4	C5	C6	C7	C8	...	C∞
Cnv	C1v= C1h	C2v	C3v	C4v	C5v	C6v	C7v	C8v	...	C∞v
Cnh	C1h= Cs	C2h	C3h	C4h	C5h	C6h	C7h	C8h	...	C∞h
Sn	S1= Cs	S2= Ci	S3= C3h	S4	S5= C5h	S6	S7= C7h	S8	...	S∞= C∞h
Cni (redundant)	C1i= Ci	C2i= Cs	C3i= S6	C4i= S4	C5i= S10	C6i= C3h	C7i= S14	C8i= S8	...	C∞i= C∞h
Dn	D1= C2	D2	D3	D4	D5	D6	D7	D8	...	D∞
Dnh	D1h= C2v	D2h	D3h	D4h	D5h	D6h	D7h	D8h	...	D∞h
Dnd	D1d= C2h	D2d	D3d	D4d	D5d	D6d	D7d	D8d	...	D∞d= D∞h

En cristalografía, debido a teorema de restricción cristalográfica, "n" está restringida a los valores de 1, 2, 3, 4 o 6. Los grupos no cristalográficos se muestran con fondos grises. D_4d y D_6d también están prohibidos porque contienen rotación impropia con n = 8 y 12 respectivamente. Los 27 grupos de puntos de la tabla más T, T_d, T_h, O y O _h constituyen 32 crystallographic point groups.

Los grupos con n = ∞ se denominan grupos límite o Grupos de puntos en tres dimensiones. Hay dos grupos límite más, que no figuran en la tabla: K (para Kugel, alemán para bola, esfera), el grupo de todas las rotaciones en el espacio tridimensional; y K_h, el grupo de todas las rotaciones y reflexiones. En matemáticas y física teórica se conocen respectivamente como grupo ortogonal especial y grupo ortogonal en el espacio tridimensional, con los símbolos SO(3) y O(3).

Grupos espaciales

Los space groups con un grupo de puntos dado están numerados por 1, 2, 3, ... (en el mismo orden que su número internacional) y este número se agrega como un superíndice al símbolo de Schönflies para el grupo de puntos correspondiente. Por ejemplo, los grupos números del 3 al 5 cuyo grupo de puntos es C₂ tienen los símbolos de Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.

Mientras que en el caso de los grupos de puntos, el símbolo de Schönflies define los elementos de simetría del grupo sin ambigüedades, el superíndice adicional para el grupo espacial no tiene ninguna información sobre la simetría traslacional del grupo espacial (centrado de celosía, componentes traslacionales de ejes y planos), por lo tanto, uno necesita para consultar tablas especiales que contienen información sobre la correspondencia entre Schönflies y Hermann–Mauguin notation. Dicha tabla se proporciona en la página List of space groups.

Véase también

• Crystallographic point group
• Grupos de puntos en tres dimensiones
• Anexo:Grupos de simetría esférica

Bibliografía

• Flurry, R. L., Symmetry Groups : Theory and Chemical Applications. Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
• Cotton, F. A., Chemical Applications of Group Theory, John Wiley & Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
• Harris, D., Bertolucci, M., Symmetry and Spectroscopy. New York, Dover Publications, 1989.

Enlaces externos

• Symmetry@Otterbein

• Datos: Q903255