Modelo Landau-Lifshitz

En física del estado sólido, la ecuación de Landau-Lifshitz ( LLE ), llamada así por Lev Landau y Evgeny Lifshitz, es una ecuación diferencial parcial que describe la evolución temporal del magnetismo en sólidos, dependiendo de una variable de tiempo y una, dos o tres variables de espacio.

Ecuación de Landau-Lifshitz

El LLE describe un imán anisotrópico. La ecuación es descrita en (Faddeev y Takhtajan, 2007, capítulo 8) de la siguiente manera: Es una ecuación para un campo vectorial S, en otras palabras, una función en R^{1+ n} que toma valores en R³. La ecuación depende de una matriz J simétrica fija de 3 por 3, que generalmente se asume que es diagonal, es decir, $J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})$ . Está dado por la ecuación de movimiento de Hamilton para el hamiltoniano

$H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)$

(donde J ( S ) es la forma cuadrática de J aplicada al vector S ) que es

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)$

En dimensiones 1 + 1 esta ecuación es

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)$

En 2 + 1 dimensiones, esta ecuación toma la forma

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)$

que es el LLE (2 + 1) -dimensional. Para el caso (3 + 1) -dimensional, LLE parece

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)$

Reducciones integrables

En general, LLE (2) no es integrable. Pero admite las dos reducciones integrables:

a) en las dimensiones 1 + 1, es decir la Ec. (3), es integrable

b) cuando $J=0$ . En este caso, el (1 + 1) -dimensional LLE (3) se convierte en la ecuación clásica continua ferromagnética de Heisenberg (ver p. Ej. Modelo de Heisenberg (clásico) ) que ya es integrable.

Ver también

• Ecuación de Schrödinger no lineal
• Modelo de Heisenberg (clásico)
• Ola de espín
• Micromagnetismo
• Ecuación de Ishimori
• Imán
• Ferromagnetismo

Referencias

• Faddeev, Ludwig D.; Takhtajan, Leon A. (2007), Hamiltonian methods in the theory of solitons, Classics in Mathematics, Berlin: Springer, pp. x+592, ISBN 978-3-540-69843-2, doi:10.1007/978-3-540-69969-9 .
• Guo, Boling; Ding, Shijin (2008), Landau-Lifshitz Equations, Frontiers of Research With the Chinese Academy of Sciences, World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-277-875-8 .
• Kosevich A.m., Ivanov B.Un., Kovalev Un.S. Nonlinear Olas de magnetización. Dinámico y topológico solitons. @– Kiev: Naukova Dumka, 1988. @– 192 p.