Unicursal
En matemáticas, más precisamente en geometría, un curva plana se llama unicursal, o racional si admite un parametrización de modo que sus coordenadas e sean ambas fracciones racionales del parámetro.
Ejemplos[editar]
Recta[editar]
Una recta es unicursal, ya que admite una representación paramétrica de la forma
donde son las coordenadas de un punto de la línea, y es un vector director de la recta.
Circunferencia[editar]
Una circunferencia es unicursal. Cuando tiene su centro en el origen de coordenadas y radio 1, tiene la siguiente representación paramétrica:
De hecho, la imagen de esta función no es la circunferencia completa, ya que carece del punto de coordenadas . Pero se admite que este punto es la imagen del por representación paramétrica. Este es un ejemplo de compacidad de Alexandrov de .
Hipérbola[editar]
Las secciones cónicas no degeneradas también son unicursales. Por ejemplo, la parametrización racional de una hipérbola:
Curvas cúbicas[editar]
Caracterización[editar]
|
En particular, una curva elíptica no es unicursal.
Ejemplos[editar]
Curva cúbica nodal[editar]
El folium de Descartes tiene representación paramétrica
El punto doble es el origen de coordenadas, obtenido para y para .
En general, los estrofoides son unicursales.
Curvas cúbicas cuspidales[editar]
La cisoide de Diocles admite la representación paramétrica
Es incluso más que racional, ya que e son incluso polinomios de
Cuárticas[editar]
Un ejemplo de una curva cuártica unicursal es la lemniscata de Bernoulli, cuya ecuación paramétrica es
Algebraicidad[editar]
Proposición[editar]
Al eliminar entre e , cualquier curva unicursal es algebraica.
Recíproco[editar]
Una curva algebraica no es necesariamente unicursal. Es así solo si su género es 0.
Ejemplo[editar]
Se puede demostrar que la curva afín del plano de ecuación es de género 0. Por lo tanto, es unicursal y admite una parametrización racional, por ejemplo:
con
Contraejemplos[editar]
Cónicas: una cónica degenerada no es unicursal. Por ejemplo, la 'curva' de la ecuación no tiene una representación paramétrica racional (una función de que toma solo los valores 1 y -1 no puede ser racional). Sin embargo, esta cónica degenerada consta de dos componentes, las dos líneas de ecuación y , que son unicursales por separado.
Cúbicas: las curvas cúbicas sin puntos dobles no son unicursales. De hecho, su género es 1. Por el contrario, una cúbica que tiene un punto doble es de género 0.
Aplicaciones[editar]
Puntos de coordenadas racionales[editar]
Si (por ejemplo, si es un número entero), las coordenadas y son en sí mismas racionales. Por lo tanto, se puede usar la representación paramétrica de una curva unicursal para obtener puntos con coordenadas racionales de esta.
Ejemplo: la búsqueda de puntos con coordenadas racionales en el círculo de radio unidad (véase arriba) está vinculada a la de la terna pitagórica. Con , se tiene
donde se localiza el triplete .
Nomogramas[editar]
John Clark Brixey[2] usó representaciones paramétricas racionales del círculo y del folium de Descartes para crear nomogramas de la multiplicación (círculo graduado de doble entrada, con una recta graduada, y el folium triplemente graduado).
Referencias[editar]
- ↑ Cours de géométrie de Pierre Samuel, febrero de 2017.
- ↑ Ivor Grattan-Guinness. Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences. Routledge, 2002. p. 1840. ISBN 9781134957491. Consultado el 6 de abril de 2019.