Punto limitante (geometría)

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Los dos puntos donde se cruzan las cincunferencias rojas son los puntos limitantes de cada par de cincunferencias azules

En geometría, los puntos limitantes de dos cincunferencias disjuntas A y B en el plano son los puntos p que pueden definirse mediante cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:

  • El haz definido por A y B contiene una cincunferencia degenerada (radio cero) centrada en p.[1]​
  • Cada cincunferencia o recta que es perpendicular tanto para A como para B pasa por p.[2]​
  • Una inversión centrada en p transforma A y B en cincunferencias concéntricas.[3]​

Propiedades[editar]

El punto medio de los dos puntos limitantes es el punto donde el eje radical de A y B cruza la recta que pasa por sus centros. Este punto de intersección tiene una potencia igual con respecto a todas las cincunferencias del haz que contienen A y B. Los propios puntos limitantes se pueden encontrar a esta distancia a cada lado del punto de intersección, en la recta que pasa por los dos centros de las cincunferencias. A partir de este hecho, es sencillo construir los puntos limitantes algebraicamente o mediante regla y compás.[4]​ Weisstein da una fórmula explícita que expresa los puntos limitantes como la solución a una ecuación de segundo grado en las coordenadas de los centros de las cincunferencias y de sus radios.[5]​

Invertir uno de los dos puntos limitantes a través de A o B produce el otro punto limitante. Una inversión centrada en un punto limitante asigna el otro punto limitante al centro común de las cincunferencias concéntricas.[6]​

Referencias[editar]

  1. ↑ Coolidge, Julian Lowell (1916), A treatise on the circle and the sphere, Oxford Clarendon Press, p. 97 ..
  2. ↑ This follows from the pencil definition, together with the fact that every pencil has a unique orthogonal pencil; see Schwerdtfeger, Hans (1979), Geometry of Complex Numbers, Dover ., Corollary, p. 31.
  3. ↑ Schwerdtfeger (1979), Example 2, p. 32.
  4. ↑ Johnstone, John K. (1993), «A new intersection algorithm for cyclides and swept surfaces using circle decomposition», Computer Aided Geometric Design 10 (1): 1-24, MR 1202965, doi:10.1016/0167-8396(93)90049-9 ..
  5. ↑ Weisstein, Eric W. «Limiting Point». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
  6. ↑ Godfrey, C.; Siddons, A. W. (1908), Modern Geometry, University Press, Ex. 473, p. 109, OL 6525169M ..
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