Potencial newtoniano
En matemáticas, el potencial newtoniano o potencial de Newton es un operador en cálculo vectorial que actúa como el inverso del Laplaciano negativo, en funciones que son suaves y decaen lo suficientemente rápido en el infinito. Como tal, es un objeto de estudio fundamental en Teoría del potencial. En su naturaleza general, es un operador integral singular, definido por convolución con una función que tiene una singularidad matemática en el origen, el núcleo newtoniano Γ que es la solución fundamental de la ecuación de Laplace. Debe su nombre a Isaac Newton, quien lo descubrió por primera vez y demostró que era una función armónica en la caso especial de tres variables, donde servía como potencial gravitatorio fundamental en la ley de la gravitación universal de Newton. En la teoría moderna del potencial, el potencial newtoniano se considera en cambio un potencial electrostático.
El potencial newtoniano de una compactamente soportado función integrable f se define como la convolución
Aquí ωd es el volumen de la unidad d-balón (a veces las convenciones de signos pueden variar; compárese (Evans, 1998) y (Gilbarg y Trudinger, 1983)). Por ejemplo, para tenemos
El potencial newtoniano w de f es una solución de la ecuación de Poisson
El potencial newtoniano se define más ampliamente como la convolución
Si f es una función continua compactamente soportada (o, más generalmente, una medida finita) que es rotacionalmente invariante, entonces la convolución de f con Γ satisface para x fuera del soporte de f
En dimensión d= 3, esto se reduce al teorema de Newton de que la energía potencial de una masa pequeña fuera de una distribución de masa esféricamente simétrica mucho más grande es la misma que si toda la masa del objeto más grande se concentrara en su centro.
Cuando la medida μ está asociada a una distribución de masa sobre una hipersuperficie S suficientemente suave (una superficie de Lyapunov de clase de Hölder C1,α) que divide Rd en dos regiones D+ y D-, entonces el potencial newtoniano de μ se denomina potencial de capa simple. Los potenciales de capa simples son continuos y resuelven la ecuación de Laplace excepto en S. Aparecen de forma natural en el estudio de la electrostática en el contexto del potencial electrostático asociado a una distribución de cargas sobre una superficie cerrada. Si dμ = f dH es el producto de una función continua sobre S con la medida de Hausdorff (d - 1)-dimensional, entonces en un punto y de S, la derivada normal sufre un salto de discontinuidad f(y) al atravesar la capa. Además, la derivada n| ormal es de w Derivada direccional| una función continua bien definida en S. Esto hace que las capas simples sean particularmente adecuadas para el estudio del problema de Neumann para la ecuación de Laplace.
Véase también[editar]
- Potencial de doble capa
- Función de Green
- Potencial de Riesz
- Función de Green para la ecuación de Laplace de tres variables
Referencias[editar]
Bibliografía[editar]
- Evans, L.C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2..
- Gilbarg, D.; Trudinger, Neil (1983), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, New York: Springer, ISBN 3-540-41160-7..
- Solomentsev, E.D. (2001), «Potencial newtoniano», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Solomentsev, E.D. (2001), «Potencial newtoniano», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.
- Solomentsev, E.D. (2001), «Potencial newtoniano», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104.