Aplicando la distancia pseudoeuclídea a dos puntos (en lugar de la distancia euclídea), se obtiene la geometría de las hipérbolas, porque una circunferencia pseudoeuclídea es una hipérbola con punto medio .
Mediante una transformación de coordenadas , , la distancia pseudoeuclídea se puede reescribir como . Las hipérbolas tienen entonces asíntotas paralelas a los ejes de coordenadas denotados sin comilla (es decir, a x e y; y no a x' e y' ).
Para cualquier par de puntos no paralelos existe exactamente un punto con .
Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente dos puntos con .
Para tres puntos cualesquiera , , , no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo que contiene .
Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que , es decir, toca a en el punto P.
Al igual que los planos clásicos de Möbius y Laguerre, los planos de Minkowski pueden describirse como la geometría de secciones planas de una cuádrica adecuada. Pero en este caso, la cuádrica se define en un espacio tridimensional 'proyectivo: el plano real clásico de Minkowski es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un hiperboloide (cuádrica no degenerada de índice 2).
Sea una estructura de incidencia con el conjunto de puntos, el conjunto de ciclos y dos relaciones de equivalencia ((+)-paralela) y ((-)-paralela) en el conjunto . Para , se define:
y .
Una clase de equivalencia o se denomina (+)-generador y (-)-generador, respectivamente (para el modelo espacial del plano clásico de Minkowski, un generador es una línea sobre el hiperboloide).
Dos puntos se llaman paralelos () si son o .
Una estructura de incidencia se denomina plano de Minkowski si se cumplen los siguientes axiomas:
C1: Para cualquier par de puntos no paralelos existe exactamente un punto con .
C2: Para cualquier punto y cualquier ciclo existen exactamente dos puntos con .
C3: Para tres puntos cualesquiera , no paralelos dos a dos, hay exactamente un ciclo que contiene .
C4: Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto y existe exactamente un ciclo tal que , es decir, toca a en el punto .
C5: Cualquier ciclo contiene al menos 3 puntos. Existe al menos un ciclo y un punto que no está en .
También se establecen otras declaraciones sobre clases paralelas (equivalentes a C1 y C2 respectivamente):
C1': Para dos puntos cualesquiera se tiene que .
C2': Para cualquier punto y cualquier ciclo se tiene que: .
Las primeras consecuencias de los axiomas son:
Lema
Para un plano de Minkowski se cumple lo siguiente:
• Cualquier punto está contenido en al menos un ciclo.
• Cualquier generador contiene al menos 3 puntos.
• Dos puntos pueden estar conectados mediante un ciclo si y sólo si no son paralelos.
De manera análoga a los planos de Möbius y Laguerre, se obtiene la conexión con la geometría del plano lineal a través de los residuos.
Para un plano de Minkowski y se define la estructura local
, que se denomina residuo en el punto P.
Para el plano clásico de Minkowski, es el plano afín real .
Una consecuencia inmediata de los axiomas C1 a C4 y C1′, C2′ son los dos teoremas siguientes.
Para un plano de Minkowski , cualquier residuo es un plano afín.
Sea una estructura de incidencia con dos relaciones de equivalencia y en el conjunto de puntos (véase arriba).
Entonces, es un plano de Minkowski si y sólo si para cualquier punto el residuo es un plano afín
Los ejemplos más relevantes de planos de Minkowski se obtienen generalizando el modelo real clásico: simplemente, basta con reemplazar por un cuerpo arbitrario y se obtiene en cualquier caso un plano de Minkowski .
De manera análoga a los planos de Möbius y de Laguerre, el teorema de Miquel es una propiedad característica de un plano de Minkowski .
Teorema (Miquel):
Para el plano de Minkowski se cumple lo siguiente:
Si para cualquier 8 puntos no paralelos dos a dos que se pueden asignar a los vértices de un cubo de manera que los puntos en 5 caras correspondan a cuadrupletes concíclicos, entonces el sexto cuadruplete de puntos también es concíclico (para una mejor visión general en la figura se han empleado circunferencias en lugar de hipérbolas).
Teorema (Chen):
Solo un plano de Minkowski satisface el teorema de Miquel.
Debido a este último teorema, se denomina plano miqueliano de Minkowski.
Observación:
El modelo mínimo de un plano de Minkowski es miqueliano.
Es isomorfo al plano de Minkowski con (campo ).
Un resultado sorprendente es que:
Teorema (Heise):
Cualquier plano de Minkowski de orden par es miqueliano.
Observación:
Una proyección estereográfica adecuada muestra que es isomorfo a la geometría de las secciones planas en un hiperboloide de una hoja (cuádrica de índice 2) en el 3-espacio proyectivo sobre el campo .
Observación:
Hay muchos planos de Minkowski que no son miquelianos (véase el enlace web que figura a continuación). Pero no existen planos ovoidales de Minkowski, a diferencia de lo que sucede con los planos de Möbius y de Laguerre, dado que cualquier conjunto cuadrático de índice 2 en el espacio tridimensional proyectivo es una cuádrica (véase conjunto cuadrático).
↑Burkard Polster, Günter Steinke (2001). Geometries on Surfaces. Cambridge University Press. pp. 7 de 490. ISBN9780521660587. Consultado el 9 de octubre de 2023.