Lemniscata de Gerono

Lemniscata de Gerono

En geometría algebraica, la lemniscata de Gerono (también, lemniscata de Huygens o curva en forma de ocho) es una curva algebraica plana de cuarto grado y género geométrico cero. Es una lemniscata cuya forma semeja la del símbolo de infinito: $\infty$ o figura en ocho. Su ecuación es:

$x^{4}-x^{2}+y^{2}=0$

Fue estudiada por Camille-Christophe Gerono.^{[cita requerida]}

Parametrización

Dado que la curva es de género geométrico cero, se puede parametrizar mediante funciones racionales. Una manera de hacerlo es:

$x={\frac {t^{2}-1}{t^{2}+1}},\ y={\frac {2t(t^{2}-1)}{(t^{2}+1)^{2}}}$

Otra representación es:

$x=\cos \varphi ,\ y=\sin \varphi \,\cos \varphi =\sin(2\varphi )/2$,

lo cual revela que esta lemniscata es un caso especial de curva de Lissajous.

Curva dual

La curva dual (véase fórmula de Plücker), ilustrada abajo, es por lo tanto de carácter algo diferente. Su ecuación es:

$(x^{2}-y^{2})^{3}+8y^{4}+20x^{2}y^{2}-x^{4}-16y^{2}=0$

Dual de la lemniscata de Gerono.

Referencias

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. p. 124. ISBN 0-486-60288-5. 

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Lemniscata de Gerono.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Figure Eight Curve» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews, https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Curves/Eight/ .

• Datos: Q2346810
• Multimedia: Lemniscate of Gerono / Q2346810