Integración por fórmulas de reducción

En cálculo integral, integración por fórmulas de reducción es un método basado en relaciones de recurrencia. Se utiliza cuando una expresión que contiene un parámetro entero (típicamente en potencias de funciones elementales, productos de funciones trascendentes o polinomios de grado arbitrario) no puede ser integrada directamente.

Encontrar una fórmula de reducción

La fórmula de reducción puede ser obtenida utilizando los métodos de integración más comunes tales como integración por sustitución, integración por partes, integración por sustitución trigonométrica, integración por fracciones parciales, etc. La idea principal consiste en expresar un integral que contiene un parámetro entero de una función, representado por $I_{n}$, en términos de un integral que involucra un valor más pequeño del parámetro de la función, por ejemplo $I_{n-1}$ o $I_{n-2}$. Esto hace que la fórmula de reducción sea un tipo de relación de recurrencia. En otras palabras, la fórmula de reducción expresa la integral

$I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,$

en términos de

$I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,$

donde

$k<n.$

Evaluar la integral

Para evaluar la integral, comenzamos por nombrar la integral como $I_{n}$ y utilizamos la fórmula de reducción para expresarla en términos de $I_{n-1}$ o $I_{n-2}$. El índice más pequeño de $I$ puede ser usado para calcular índices más altos de $I$; el proceso se repite hasta que se alcanza un punto donde la función a ser integrada puede ser evaluada. Para terminar, “sustituimos hacia atrás” los resultados anteriores para poder evaluar $I_{n}$.​

Ejemplos

Abajo se muestran ejemplos del procedimiento.

Integral del coseno

Típicamente, integrales como

$\int \cos ^{n}(x)\,dx$

pueden ser evaluadas por una fórmula de reducción.

Empezamos por nombrar:

$I_{n}=\int \cos ^{n}(x)\,dx.$

la reescribimos como

$I_{n}=\int \cos ^{n-1}(x)\cos(x)\,dx$

integrando por la sustitución:

$\cos x\,dx=d(\operatorname {sen} x)$

$I_{n}=\int \cos ^{n-1}(x)\,d(\operatorname {sen} x)$

integrando por partes:

${\begin{aligned}\int \cos ^{n}(x)\,dx&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x-\int \operatorname {sen} x\,d(\cos ^{n-1}(x))\\&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)\int \operatorname {sen} x\cos ^{n-2}(x)\operatorname {sen} x\,dx\\&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\operatorname {sen} ^{2}(x)\,dx\\&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)(1-\cos ^{2}(x))\,dx\\&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)\int \cos ^{n-2}(x)\,dx-(n-1)\int \cos ^{n}(x)\,dx\\&=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,$

resolviendo para $I_{n}$

${\begin{aligned}&I_{n}+(n-1)I_{n}=\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x+(n-1)I_{n-2}\\&nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x\ +(n-1)I_{n-2}\\&I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen} x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2}\end{aligned}}$

por lo que la fórmula de reducción es:

$\int \cos ^{n}(x)\,dx={\frac {\cos ^{n-1}(x)\operatorname {sen}(x)}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}(x)\,dx$

Por ejemplo, podemos utilizar la fórmula anterior para evaluar la integral para $n=5$;

$I_{5}=\int \cos ^{5}(x)\,dx$

Calculando los índices

$n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\operatorname {sen} x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,$

$n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\operatorname {sen} x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,$

sustituyendo “hacia atrás”:

$\because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\operatorname {sen} x+C_{1},\,$

$\therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\operatorname {sen} x+{\tfrac {2}{3}}\operatorname {sen} x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,$

por lo tanto

$I_{5}=\int \cos ^{5}(x)\;dx={\frac {1}{5}}\cos ^{4}(x)\operatorname {sen} x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}(x)\operatorname {sen} x+{\frac {2}{3}}\operatorname {sen} x\right]+C,\,$

donde $C\in \mathbb {R}$ es la constante de integración.

Integral exponencial

Otro ejemplo típico es:

$\int x^{n}e^{ax}\;dx$

Iniciamos por nombrar:

$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,dx$

integrando por sustitución:

$x^{n}\,dx={\frac {d(x^{n+1})}{n+1}},\,\!$

$I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,d(x^{n+1})$

Ahora integrando por partes:

${\begin{aligned}\int e^{ax}\,d(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,d(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,dx\end{aligned}}$

$(n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!$

recorriendo los índices (esto es $n+1\to n$ y $n\to n-1$):

$nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!$

resolviendo para $I_{n}$:

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

por lo que la fórmula de reducción es:

$\int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,dx\right).$

Otra manera en que se pudo obtener la fórmula anterior pudo haber sido sustituyendo en un principio $e^{ax}$.

Integración por sustitución:

$e^{ax}\,dx={\frac {d(e^{ax})}{a}}$

$I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,d(e^{ax})$

Ahora integrando por partes:

${\begin{aligned}\int x^{n}\,d(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,d(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,dx,\end{aligned}}$

que da la fórmula de reducción cuando “sustituye hacia atrás”:

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

que es equivalente a:

$\int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,dx\right)$

Tablas de fórmulas de reducción integral

Funciones racionales

Las siguientes integrales contienen:​

• Factores del radical lineal ${\sqrt {ax+b}}$
• Factores lineales ${px+q}\,\!$ y el radical lineal ${\sqrt {ax+b}}$
• Factores cuadráticos $x^{2}+a^{2}$
• Factores cuadráticos $x^{2}-a^{2}\,\!$, para $x>a$
• Factores cuadráticos $a^{2}-x^{2}\,\!$, para $x<a$
• (Irreductible) factores cuadráticos $ax^{2}+bx+c$
• Radicales de factores cuadráticos irreductibles ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {(px+q)^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$\int (px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x={\frac {2(px+q)^{n+1}{\sqrt {ax+b}}}{p(2n+3)}}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}}I_{n-1}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!$	$-cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!$	$8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$

Nótese que por los leyes de los exponentes:

$I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!$

Funciones trascendentes

Las siguientes integrales contienen:​

• Factores de seno
• Factores de coseno
• Factores de productos o cocientes de seno y coseno
• Cocientes/productos de factores exponenciales y potencias de x
• Productos de exponenciales y factores de seno/coseno

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int x^{n}\operatorname {sen} {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\operatorname {sen} {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}J_{n}=ax^{n}\operatorname {sen} {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\operatorname {sen} {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$ $J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$ El formulae puede ser combinado para obtener ecuaciones separadas en En: $J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore I_{n}=-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!$ Y Jn: $I_{n-1}=-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\operatorname {sen} {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!$
$I_{n}=\int \operatorname {sen} ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anI_{n}=-\operatorname {sen} ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anJ_{n}=\operatorname {sen} {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\operatorname {sen} ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\operatorname {sen} ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)J_{n}={\frac {\operatorname {sen} {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{m,n}=\int \operatorname {sen} ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\operatorname {sen} ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\operatorname {sen} ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\operatorname {sen} ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\operatorname {sen} ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\operatorname {sen} ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\operatorname {sen} ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\operatorname {sen} ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\operatorname {sen} ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\operatorname {sen} ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\operatorname {sen} ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\operatorname {sen} ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\operatorname {sen} ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$

Integral	Fórmula de reducción
$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$	$I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$ $n\neq 1\,\!$	$I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\operatorname {sen} ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\operatorname {sen} ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\operatorname {sen} bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\operatorname {sen} bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$

Referencias

1. Anton, Bivens, Davis, Cálculo, 7.ª edición.