Historia de las transformaciones de Lorentz

La historia de las transformaciones de Lorentz comprende el desarrollo de las aplicaciones lineales que forman el grupo de Lorentz o grupo de Poincaré preservando el intervalo de Lorentz $-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$ y el producto interno de Minkowski $-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}$.

En matemáticas, las transformaciones equivalentes a lo que luego se conoció como transformaciones de Lorentz en varias dimensiones fueron discutidas en el siglo XIX en relación con la teoría de las formas cuadráticas, de la geometría hiperbólica, de la geometría de Möbius y de la geometría de la esfera, lo que está conectado con el hecho de que el grupo de movimientos en el espacio hiperbólico, la transformación de Möbius o grupo lineal proyectivo especial, y el grupo de Laguerre son isomorfos al grupo de Lorentz.

En física, las transformaciones de Lorentz se dieron a conocer a principios del siglo XX, cuando se descubrió que exhibían la simetría de las ecuaciones de Maxwell. Posteriormente, se volvieron fundamentales para toda la física, porque formaron la base de la teoría de la relatividad especial en la que muestran la simetría del espacio-tiempo de Minkowski, haciendo que la velocidad de la luz sea invariante entre diferentes sistemas inerciales. Relacionan las coordenadas espacio-temporales de dos marcos de referencia inerciales arbitrarios con velocidad relativa constante v. En un marco de referencia, la posición de un evento está dada por x,y,z y el tiempo t, mientras que en el otro el mismo evento tiene coordenadas x',y',z' y t'.

Antecedentes matemáticos

Utilizando los coeficientes de una matriz simétrica A, la forma bilineal asociada y una aplicación lineal en términos de una matriz de transformación g, se genera la transformación de Lorentz si se cumplen las siguientes condiciones:

${\begin{matrix}{\begin{aligned}-x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}&=-x_{0}^{\prime 2}+\dots +x_{n}^{\prime 2}\\-x_{0}y_{0}+\cdots +x_{n}y_{n}&=-x_{0}^{\prime }y_{0}^{\prime }+\cdots +x_{n}^{\prime }y_{n}^{\prime }\end{aligned}}\\\hline {\begin{matrix}\mathbf {x} '=\mathbf {g} \cdot \mathbf {x} \\\mathbf {x} =\mathbf {g} ^{-1}\cdot \mathbf {x} '\end{matrix}}\\\hline {\begin{matrix}{\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {A} &=\mathbf {g} ^{-1}\\\mathbf {g} ^{\rm {T}}\cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} &=\mathbf {A} \\\mathbf {g} \cdot \mathbf {A} \cdot \mathbf {g} ^{\mathrm {T} }&=\mathbf {A} \end{aligned}}\end{matrix}}\\\hline \mathbf {A} ={\rm {diag}}(-1,1,\dots ,1)\\\det \mathbf {g} =\pm 1\end{matrix}}$

Este conjunto forma un grupo ortonormal generalizado llamado grupo de Lorentz O(1,n), mientras que el caso det g=+1 forma el grupo de Lorentz restringido SO(1,n). La forma cuadrática se convierte en el intervalo de Lorentz en términos de un forma cuadrática indefinida del espacio de Minkowski (siendo un caso especial de espacio pseudoeuclídeo), y la forma bilineal asociada se convierte en el producto interno de Minkowski.​​ Mucho antes del advenimiento de la relatividad especial se usaba en temas como la métrica de Cayley-Klein, el modelo hiperboloide y otros modelos de geometría hiperbólica, cálculo de funciones elípticas e integrales, transformación de formas cuadráticas indefinidas, contracciones de la hipérbola, teoría de grupos, transformación de Möbius, transformación de ondas esféricas, transformación de la ecuación de sine-Gordon, álgebra de bicuaterniones, números complejos hiperbólicos, álgebra de Clifford y otros.

Electrodinámica y relatividad especial

Descripción general

En la teoría de la relatividad especial, las transformaciones de Lorentz exhiben la simetría del espacio-tiempo de Minkowski mediante el uso de una constante c como la velocidad de la luz y un parámetro v como la velocidad relativa entre dos sistemas de referencia inerciales. Usando las condiciones anteriores, la transformación de Lorentz en 3+1 dimensiones asume la forma:

${\begin{matrix}-c^{2}t^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=-c^{2}t^{\prime 2}+x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\\\hline \left.{\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+x{\frac {v}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}\end{matrix}}\Rightarrow {\begin{aligned}(ct'+x')&=(ct+x){\sqrt {\frac {c+v}{c-v}}}\\(ct'-x')&=(ct-x){\sqrt {\frac {c-v}{c+v}}}\end{aligned}}$

En física, Voigt (1887) había introducido transformaciones análogas relacionadas con un medio incompresible, y Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896) y Lorentz (1892, 1895), quienes analizaron las ecuaciones de Maxwell. Estos trabajos fueron completados por Larmor (1897, 1900) y Lorentz (1899, 1904); y Poincaré (1905) los llevó a su forma moderna, dándole a la transformación el nombre de Lorentz.​ Finalmente, Einstein (1905) demostró en su desarrollo de la teoría de la relatividad especial que las transformaciones se derivan únicamente del principio de relatividad y la velocidad constante de la luz modificando los conceptos tradicionales de espacio y tiempo, sin necesidad de recurrir al éter como medio de transmisión de la luz, a diferencia de lo que habían considerado en sus trabajos Lorentz y Poincaré.​ Minkowski (1907-1908) usó estas transformaciones para argumentar que el espacio y el tiempo están inseparablemente conectados en lo que pasó a denominarse el espacio-tiempo.

Con respecto a las representaciones especiales de las transformaciones de Lorentz, Minkowski (1907-1908) y Sommerfeld (1909) usaron funciones trigonométricas imaginarias, Frank (1909) y Varićak (1910) usaron funciones hiperbólicas, Bateman y Cunningham (1909-1910) usaron transformación de ondas esféricas, Herglotz (1909-10) usó transformaciones de Möbius, Plummer (1910) y Gruner (1921) usaron impulsos trigonométricos de Lorentz, Ignatowski (1910) dedujo las transformaciones sin el postulado de la velocidad de la luz, Noether (1910) y Klein (1910) como también Conway (1911) y Silberstein (1911) usaron bicuaterniones, Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911), y otros usaron transformaciones vectoriales válidas en direcciones arbitrarias, y por último, Borel (1913-14) usó el parámetro de Cayley-Hermite.

Voigt (1887)

Woldemar Voigt (1887)​ desarrolló una transformación en relación con el efecto Doppler y un medio incompresible, que con notación moderna toma la forma siguiente:​​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}\xi _{1}&=x_{1}-\varkappa t\\\eta _{1}&=y_{1}q\\\zeta _{1}&=z_{1}q\\\tau &=t-{\frac {\varkappa x_{1}}{\omega ^{2}}}\\q&={\sqrt {1-{\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&={\frac {y}{\gamma }}\\z^{\prime }&={\frac {z}{\gamma }}\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx}{c^{2}}}\\{\frac {1}{\gamma }}&={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Si los lados derechos de sus ecuaciones se multiplican por γ, se obtiene la transformación moderna de Lorentz. En la teoría de Voigt, la velocidad de la luz es invariante, pero sus transformaciones mezclan un impulso relativista junto con una reescalación del espacio-tiempo. Los fenómenos ópticos en el espacio libre son escalables, conformes e invariantes de Lorentz, por lo que su combinación también es invariante.​ Por ejemplo, las transformaciones de Lorentz se pueden ampliar usando el factor $l$:​

$x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)$.

l=1/γ da la transformación de Voigt, que cuando l=1 da la transformación de Lorentz. Pero las transformaciones de escala no son una simetría de todas las leyes de la naturaleza, solo del electromagnetismo, por lo que estas transformaciones no pueden usarse para formular un principio de relatividad en general. Poincaré y Einstein demostraron que hay que establecer l=1 para hacer simétrica la transformación anterior y formar un grupo como lo exige el principio de relatividad, por lo que la transformación de Lorentz es la única opción viable.

Voigt envió su artículo de 1887 a Lorentz en 1908,​ y fue reconocido en 1909:

En un artículo titulado "Über das Doppler'sche Princip", publicado en 1887 (Gött. Nachrichten, p. 41) y que, lamentablemente, ha pasado desapercibido durante todos estos años, Voigt ha aplicado ecuaciones de la forma (7) (§ 3 de este libro) [es decir, $\Delta \Psi -{\tfrac {1}{c^{2}}}^{2}t^{2}=0$], una transformación equivalente a las fórmulas (287) y (288) [es decir, $x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\ y^{\prime }=ly,\ z^{\prime }=lz,\ t^{\prime }=\gamma l\left(t-{\tfrac {v}{c^{2}}}x\right)$]. Por lo tanto, la idea de las transformaciones utilizadas anteriormente (y en el § 44) podría haber sido tomada prestada de Voigt y la prueba de que no altera la forma de las ecuaciones para el éter "libre" está contenida en su artículo.​

También Hermann Minkowski dijo en 1908 que las transformaciones que desempeñan el papel principal en el principio de la relatividad fueron examinadas por primera vez por Voigt en 1887. Voigt respondió en el mismo artículo diciendo que su teoría se basaba en una teoría elástica de la luz, no en una teoría electromagnética. Sin embargo, concluyó que algunos resultados eran en realidad los mismos.​

Heaviside (1888), Thomson (1889), Searle (1896)

En 1888, Oliver Heaviside​ investigó las propiedades de las cargas en movimiento según la electrodinámica de Maxwell. Calculó, entre otras cosas, las anisotropías en el campo eléctrico de los cuerpos en movimiento representados por esta fórmula:​

$\mathrm {E} =\left({\frac {q\mathrm {r} }{r^{2}}}\right)\left(1-{\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{c^{2}}}\right)^{-3/2}$.

En consecuencia, Joseph John Thomson (1889)​ encontró una manera de simplificar sustancialmente los cálculos relativos a cargas en movimiento mediante el uso de la siguiente transformación matemática (al igual que otros autores como Lorentz o Larmor, también Thomson utilizó implícitamente la transformación de Galileo z-vt en su ecuación):​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}z&=\left\{1-{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\right\}^{\frac {1}{2}}z'\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}z^{\ast }=z-vt&={\frac {z'}{\gamma }}\end{aligned}}\end{matrix}}$

De este modo, las ecuaciones de onda electromagnética no homogéneas se transforman en una ecuación de Poisson.​ Finalmente, George Frederick Charles Searle​ señaló en (1896) que la expresión de Heaviside conduce a una deformación de los campos eléctricos a la que llamó "Elipsoide de Heaviside" de razón axial:

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha }}:1:1\\\alpha =&1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}&{\frac {1}{\gamma }}:1:1\\{\frac {1}{\gamma ^{2}}}&=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$​

Lorentz (1892, 1895)

Para explicar la aberración de la luz y el resultado del experimento de Fizeau de acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, Lorentz desarrolló en 1892 un modelo (conocido como teoría del éter de Lorentz) en el que el éter está completamente inmóvil y la velocidad de la luz en el éter es constante en todas las direcciones. Para calcular la óptica de los cuerpos en movimiento, Lorentz introdujo las siguientes cantidades para transformar el sistema del éter en un sistema en movimiento (se desconoce si fue influenciado por Voigt, Heaviside y Thomson):​​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}{\mathfrak {x}}&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}x\\t'&=t-{\frac {\varepsilon }{V}}{\mathfrak {x}}\\\varepsilon &={\frac {p}{\sqrt {V^{2}-p^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\\gamma {\frac {v}{c}}&={\frac {v}{\sqrt {c^{2}-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

donde x^* es la transformación de Galileo x-vt. Excepto el γ adicional en la transformación del tiempo, esta es la transformación de Lorentz completa.​ Mientras que t es el tiempo "verdadero" para los observadores que descansan en el éter, t′ es una variable auxiliar solo para calcular procesos en los sistemas en movimiento. También es importante que Lorentz y más tarde también Larmor formularan esta transformación en dos pasos. Al principio una transformación galileana implícita y más tarde la ampliación al sistema electromagnético "ficticio" con ayuda de la transformación de Lorentz. Para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson y Morley, (1892b)​ introdujo la hipótesis adicional de que también las fuerzas intermoleculares se ven afectadas de manera similar e introdujo la contracción de Lorentz en su teoría (sin pruebas, como él mismo admitió). La misma hipótesis había sido formulada previamente por George FitzGerald en 1889 basándose en el trabajo de Heaviside. Si bien para Lorentz la contracción de la longitud era un efecto físico real, consideraba la transformación del tiempo solo como una hipótesis de trabajo heurística y una convención matemática.

En 1895, Lorentz desarrolló aún más su teoría e introdujo el "teorema de los estados correspondientes". Este teorema establece que un observador en movimiento (en relación con el éter) en su campo "ficticio" hace las mismas observaciones que un observador en reposo en su campo "real" para velocidades de primer orden en "v/c". Lorentz demostró que las dimensiones de los sistemas electrostáticos en el éter y en un marco móvil están conectadas por esta transformación:​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=x^{\prime }{\sqrt {1-{\frac {{\mathfrak {p}}^{2}}{V^{2}}}}}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {x^{\prime }}{\gamma }}\\y&=y^{\prime }\\z&=z^{\prime }\\t&=t^{\prime }\end{aligned}}\end{matrix}}$

Para resolver problemas ópticos, utilizó la siguiente transformación, en la que llamó a la variable de tiempo modificada "hora local" (en alemán: Ortszeit):​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&=\mathrm {x} -{\mathfrak {p}}_{x}t\\y&=\mathrm {y} -{\mathfrak {p}}_{y}t\\z&=\mathrm {z} -{\mathfrak {p}}_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}}}x-{\frac {{\mathfrak {p}}_{y}}{V^{2}}}y-{\frac {{\mathfrak {p}}_{z}}{V^{2}}}z\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-v_{x}t\\y^{\prime }&=y-v_{y}t\\z^{\prime }&=z-v_{z}t\\t^{\prime }&=t-{\frac {v_{x}}{c^{2}}}x'-{\frac {v_{y}}{c^{2}}}y'-{\frac {v_{z}}{c^{2}}}z'\end{aligned}}\end{matrix}}$

Con este concepto Lorentz podría explicar el efecto Doppler, la aberración de la luz y el experimento de Fizeau.​

Larmor (1897, 1900)

En 1897, Larmor amplió el trabajo de Lorentz y dedujo la siguiente transformación:​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=x\varepsilon ^{\frac {1}{2}}\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-vx/c^{2}\\dt_{1}&=dt^{\prime }\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\\\varepsilon &=\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y\\z_{1}&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {vx^{\ast }}{c^{2}}}=t-{\frac {v(x-vt)}{c^{2}}}\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime }}{\gamma }}\\\gamma ^{2}&={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Señaló que si se supone que la constitución de las moléculas es eléctrica, entonces la contracción de FitzGerald-Lorentz es una consecuencia de esta transformación, explicando el experimento de Michelson y Morley. Es notable que Larmor fue el primero en reconocer que algún tipo de dilatación del tiempo también es una consecuencia de esta transformación, porque "los electrones individuales describen partes correspondientes de sus órbitas en tiempos más cortos para el sistema [resto] en la proporción 1/γ".​​ Larmor escribió sus ecuaciones y transformaciones electrodinámicas ignorando términos de orden superior a (v/c)². Cuando su artículo de 1897 se reimprimió en 1929, Larmor añadió el siguiente comentario en el que describía cómo se pueden hacer válidos para todos los órdenes de v/c:​

No es necesario descuidar nada: la transformación es exacta si v/c² se reemplaza por εv/c² en las ecuaciones y también en el cambio que sigue de t a t′, como se explica en Aether and Matter (1900), p. 168, y cómo Lorentz descubrió que lo era en 1904, estimulando así los esquemas modernos de la relatividad relacional intrínseca.

De acuerdo con ese comentario, en su libro Aether and Matter publicado en 1900, Larmor utilizó una hora local modificada t″=t′-εvx′/c² en lugar de la expresión de 1897 t′=t-vx/c² reemplazando v/c² por εv/c², de modo que t′′ es ahora idéntica a la dada por Lorentz en 1892, que combinó con una transformación galileana para las coordenadas x′, y′, z′, t′:​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }&=t^{\prime }-\varepsilon vx^{\prime }/c^{2}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t\\t^{\prime \prime }=t^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\prime }}{c^{2}}}&=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Larmor sabía que el experimento de Michelson y Morley era lo suficientemente preciso como para detectar un efecto del movimiento que dependía del factor (v/c)², por lo que buscó transformaciones que fueran "precisas de segundo orden" (como dijo él). Así escribió las transformaciones finales (donde x′=x-vt y t″ como se indica arriba) como:​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x_{1}&=\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\\y_{1}&=y^{\prime }\\z_{1}&=z^{\prime }\\dt_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}dt^{\prime \prime }=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}\left(dt^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon dx^{\prime }\right)\\t_{1}&=\varepsilon ^{-{\frac {1}{2}}}t^{\prime }-{\frac {v}{c^{2}}}\varepsilon ^{\frac {1}{2}}x^{\prime }\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x_{1}&=\gamma x^{\prime }=\gamma (x-vt)\\y_{1}&=y'=y\\z_{1}&=z'=z\\dt_{1}&={\frac {dt^{\prime \prime }}{\gamma }}={\frac {1}{\gamma }}\left(dt^{\prime }-{\frac {\gamma ^{2}vdx^{\prime }}{c^{2}}}\right)=\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)\\t_{1}&={\frac {t^{\prime }}{\gamma }}-{\frac {\gamma vx^{\prime }}{c^{2}}}=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

por lo que llegó a la transformación completa de Lorentz. Larmor demostró que las ecuaciones de Maxwell eran invariantes bajo esta transformación de dos pasos, "de segundo orden en v/c". Más tarde, Lorentz (1904) y Poincaré (1905) demostraron que de hecho son invariantes bajo esta transformación respecto a todos los órdenes de v/c.

Larmor dio crédito a Lorentz en dos artículos publicados en 1904, en los que utilizó el término "transformación de Lorentz" para las transformaciones de coordenadas y configuraciones de campo de primer orden de Lorentz:

p. 583: [..] La transformación de Lorentz para pasar del campo de actividad de un sistema material electrodinámico estacionario al de uno que se mueve con velocidad de traslación uniforme a través del éter.
pág. 585: [..] la transformación de Lorentz nos ha mostrado lo que no es tan inmediatamente obvio [..]​
p. 622: [..] la transformación desarrollada por primera vez por Lorentz: es decir, cada punto en el espacio debe tener su propio origen a partir del cual se mide el tiempo, su "tiempo local" en la fraseología de Lorentz, y luego los valores de los vectores eléctrico y magnético. [..] en todos los puntos del éter entre las moléculas del sistema en reposo, son los mismos que los de los vectores [..] en los puntos correspondientes del sistema convectivo en los mismos tiempos locales.​

Lorentz (1899, 1904)

También Lorentz amplió su teorema de los estados correspondientes en 1899. Primero escribió una transformación equivalente a la de 1892 (de nuevo, x* debe ser reemplazada por x-vt):​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}x\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {{\mathfrak {p}}_{x}}{V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma x^{\ast }=\gamma (x-vt)\\y^{\prime }&=y\\z^{\prime }&=z\\t^{\prime }&=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Luego introdujo un factor ε del cual dijo que no tenía medios para determinarlo, y modificó su transformación de la siguiente manera (donde debe insertarse el valor anterior de t′):​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x&={\frac {\varepsilon }{k}}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon x^{\prime \prime }\\t^{\prime }&=k\varepsilon t^{\prime \prime }\\k&={\frac {V}{\sqrt {V^{2}-{\mathfrak {p}}_{x}^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\ast }=x-vt&={\frac {\varepsilon }{\gamma }}x^{\prime \prime }\\y&=\varepsilon y^{\prime \prime }\\z&=\varepsilon z^{\prime \prime }\\t^{\prime }=\gamma ^{2}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)&=\gamma \varepsilon t^{\prime \prime }\\\gamma &={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Esto equivale a la transformación de Lorentz completa cuando se resuelve para x′′ y t′′ y con ε=1. Al igual que Larmor, Lorentz notó en 1899​ también una especie de efecto de dilatación del tiempo en relación con la frecuencia de los electrones oscilantes "que en S el tiempo de las vibraciones es kε veces mayor que en S₀ ", donde S₀ es el sistema de referencia del éter.​

En 1904 reescribió las ecuaciones de la siguiente forma estableciendo l=1/ε (nuevamente, x* debe reemplazarse por x-vt):​

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{\prime }&=klx\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&={\frac {l}{k}}t-kl{\frac {w}{c^{2}}}x\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x^{\prime }&=\gamma lx^{\ast }=\gamma l(x-vt)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t^{\prime }&={\frac {lt}{\gamma }}-{\frac {\gamma lvx^{\ast }}{c^{2}}}=\gamma l\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Bajo el supuesto de que l=1 cuando v=0, demostró que l=1 debe ser el caso en todas las velocidades, por lo tanto, la contracción de longitud solo puede surgir en la línea de movimiento. Entonces, al establecer el factor l en la unidad, las transformaciones de Lorentz asumieron entonces la misma forma que las de Larmor y quedaron completadas. A diferencia de Larmor, que se limitó a mostrar la covarianza de las ecuaciones de Maxwell hasta el segundo orden, Lorentz intentó ampliar su covarianza a todos los órdenes de v/c. También dedujo las fórmulas correctas para la dependencia de la velocidad de la masa electromagnética y concluyó que las fórmulas de transformación deben aplicarse a todas las fuerzas de la naturaleza, no solo a las eléctricas.​ Sin embargo, no logró la covarianza total de las ecuaciones de transformación para la densidad de carga y la velocidad.​ Cuando el artículo de 1904 se reimprimió en 1913, Lorentz añadió la siguiente observación:​

Se notará que en este trabajo las ecuaciones de transformación de la Teoría de la Relatividad de Einstein no se han alcanzado del todo. [..] De esta circunstancia depende la torpeza de muchas de las consideraciones posteriores de este trabajo.

La transformación de Lorentz de 1904 fue citada y utilizada por Alfred Bucherer en julio de 1904:​

$x^{\prime }={\sqrt {s}}x,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{\sqrt {s}}}-{\sqrt {s}}{\frac {u}{v^{2}}}x,\quad s=1-{\frac {u^{2}}{v^{2}}}$

o por Wilhelm Wien en julio de 1904:​

$x=kx',\quad y=y',\quad z=z',\quad t'=kt-{\frac {v}{kc^{2}}}x$

o por Emil Cohn en noviembre de 1904 (estableciendo la velocidad de la luz en la unidad):​

$x={\frac {x_{0}}{k}},\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad t=kt_{0},\quad t_{1}=t_{0}-w\cdot r_{0},\quad k^{2}={\frac {1}{1-w^{2}}}$

o por Richard Gans en febrero de 1905:​

$x^{\prime }=kx,\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t'={\frac {t}{k}}-{\frac {kwx}{c^{2}}},\quad k^{2}={\frac {c^{2}}{c^{2}-w^{2}}}$

Poincaré (1900, 1905)

Hora local

Ni Lorentz ni Larmor dieron una interpretación física clara del origen de la hora local. Sin embargo, Henri Poincaré en 1900 realizó un comentario sobre el origen de la "maravillosa invención" de la hora local de Lorentz.​ Remarcó que surgió cuando los relojes en un sistema de referencia en movimiento se sincronizan mediante el intercambio de señales que se supone viajan con la misma velocidad $c$ en ambas direcciones, lo que lleva a lo que hoy se llama relatividad de la simultaneidad, aunque el cálculo de Poincaré no implica contracción de la longitud o dilatación del tiempo.​ Para sincronizar los relojes aquí en la Tierra (en el marco x*, t*), se envía una señal luminosa de un reloj (en el origen) a otro (en x*), y se devuelve. Se supone que la Tierra se mueve con velocidad v en la dirección x (= x*-dirección) en algún sistema en reposo (x, t) (es decir, el sistema del éter para Lorentz y Larmor). El tiempo de recorrido hacia el exterior es

$\delta t_{a}={\frac {x^{\ast }}{\left(c-v\right)}}$

y el tiempo de recorrido de regreso es

$\delta t_{b}={\frac {x^{\ast }}{\left(c+v\right)}}$.

El tiempo transcurrido en el reloj cuando se devuelve la señal es δt_a+δt_b y el tiempo t*=(δt_a+δt_b)/2 se atribuye al momento en que la señal luminosa alcanzó el reloj distante. En el marco en reposo, el tiempo t=δt_a se atribuye a ese mismo instante. Algo de álgebra proporciona la relación entre las diferentes coordenadas de tiempo atribuidas al momento en el que se devuelve la señal. De este modo:

$t^{\ast }=t-{\frac {\gamma ^{2}vx^{*}}{c^{2}}}$

expresión idéntica a la de Lorentz (1892). Al eliminar el factor γ² bajo el supuesto de que ${\tfrac {v^{2}}{c^{2}}}\ll 1$, Poincaré dio el resultado t*=t-vx*/c², que es la forma utilizada por Lorentz en 1895.

Posteriormente, Emil Cohn (1904),​ y Max Abraham (1905) dieron interpretaciones físicas similares de la hora local.​

Transformación de Lorentz

El 5 de junio de 1905 (publicado el 9 de junio) Poincaré formuló ecuaciones de transformación que son algebraicamente equivalentes a las de Larmor y Lorentz y les dio la forma moderna:​

${\begin{aligned}x^{\prime }&=kl(x+\varepsilon t)\\y^{\prime }&=ly\\z^{\prime }&=lz\\t'&=kl(t+\varepsilon x)\\k&={\frac {1}{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}\end{aligned}}$.

Al parecer Poincaré desconocía las aportaciones de Larmor, porque solo mencionó a Lorentz y por ello utilizó por primera vez el nombre de "transformación de Lorentz".​​ Estableció la velocidad de la luz en la unidad, señaló las características del grupo de la transformación estableciendo l=1 y modificó/corrigió la deducción de Lorentz de las ecuaciones de la electrodinámica en algunos detalles para satisfacer completamente el principio de relatividad, es decir, haciéndolas completamente covariantes de Lorentz.​

En julio de 1905 (publicado en enero de 1906)​ Poincaré mostró en detalle cómo las transformaciones y ecuaciones electrodinámicas son consecuencia del principio de mínima acción. También demostró con más detalle las características del grupo de la transformación, a la que llamó grupo de Lorentz, y demostró que la combinación x²+y²+z²-t² es invariante. Se dio cuenta de que la transformación de Lorentz es simplemente una rotación en un espacio de cuatro dimensiones alrededor del origen al introducir $ct{\sqrt {-1}}$ como una cuarta coordenada imaginaria, una de las primeras aplicaciones de un cuadrivector. También completó la fórmula de la suma de velocidades, que ya había deducido en cartas inéditas a Lorentz de mayo de 1905:​

$\xi '={\frac {\xi +\varepsilon }{1+\xi \varepsilon }},\ \eta '={\frac {\eta }{k(1+\xi \varepsilon )}}$.

Einstein (1905) - Relatividad especial

El 30 de junio de 1905 (publicado en septiembre de 1905), Einstein publicó lo que ahora se llama la teoría de la relatividad especial y dio una nueva deducción de la transformación, que se basaba únicamente en el principio de la relatividad y el principio de la constancia de la velocidad de la luz. Mientras que Lorentz consideraba que la "hora local" era una convención matemática para explicar el experimento de Michelson y Morley, Einstein demostró que las coordenadas dadas por la transformación de Lorentz eran de hecho las coordenadas inerciales de sistemas de referencia móviles entre sí. Para cantidades de primer orden en v/c, Poincaré también hizo esto en 1900, mientras que Einstein dedujo la transformación completa mediante este método. A diferencia de Lorentz y Poincaré, que todavía distinguían entre el tiempo real en el éter y el tiempo aparente para los observadores en movimiento, Einstein demostró que las transformaciones se aplicaban a la cinemática de los sistemas de referencia en movimiento.​​​

La notación para esta transformación es equivalente a la de Poincaré de 1905, excepto en que Einstein no estableció la velocidad de la luz en la unidad:​

${\begin{aligned}\tau &=\beta \left(t-{\frac {v}{V^{2}}}x\right)\\\xi &=\beta (x-vt)\\\eta &=y\\\zeta &=z\\\beta &={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}$

Einstein también definió la fórmula de la suma de velocidades:​

${\begin{matrix}x={\frac {w_{\xi }+v}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}t,\ y={\frac {\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw_{\xi }}{V^{2}}}}}w_{\eta }t\\U^{2}=\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2},\ w^{2}=w_{\xi }^{2}+w_{\eta }^{2},\ \alpha =\operatorname {arctg} {\frac {w_{y}}{w_{x}}}\\U={\frac {\sqrt {\left(v^{2}+w^{2}+2vw\cos \alpha \right)-\left({\frac {vw\sin \alpha }{V}}\right)^{2}}}{1+{\frac {vw\cos \alpha }{V^{2}}}}}\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {u_{x}-v}{1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}}}=u_{\xi }\\{\frac {u_{y}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\eta }\\{\frac {u_{z}}{\beta \left(1-{\frac {u_{x}v}{V^{2}}}\right)}}=u_{\zeta }\end{matrix}}\right.$

y la fórmula de la aberración luminosa:​

$\cos \varphi '={\frac {\cos \varphi -{\frac {v}{V}}}{1-{\frac {v}{V}}\cos \varphi }}$

Minkowski (1907-1908) - Espacio-tiempo

El trabajo sobre el principio de la relatividad de Lorentz, Einstein y Planck, junto con el enfoque cuatridimensional de Poincaré, fueron elaborados aún más y combinados con el modelo hiperboloide por Hermann Minkowski en 1907 y 1908.​​ Minkowski reformuló particularmente la electrodinámica en una forma cuatridimensional (denominada espacio-tiempo de Minkowski ).​ Por ejemplo, escribió x, y, z, it en la forma x₁, x₂, x₃, x₄. Al definir ψ como el ángulo de rotación alrededor del eje z, la transformación de Lorentz asume la forma (con c=1):​

${\begin{aligned}x'_{1}&=x_{1}\\x'_{2}&=x_{2}\\x'_{3}&=x_{3}\cos i\psi +x_{4}\sin i\psi \\x'_{4}&=-x_{3}\sin i\psi +x_{4}\cos i\psi \\\cos i\psi &={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}}}}\end{aligned}}$

Aunque Minkowski usó el número imaginario iψ, por una vez​ usó directamente tangentes hiperbólicas en la ecuación de la velocidad:

$-i\tan i\psi ={\frac {e^{\psi }-e^{-\psi }}{e^{\psi }+e^{-\psi }}}=q$ con $\psi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+q}{1-q}}$.

La expresión de Minkowski también se puede escribir como ψ=atanh(q) y más tarde se llamó rapidez. También escribió la transformación de Lorentz en forma matricial:​

${\begin{matrix}x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=x_{1}^{\prime 2}+x_{2}^{\prime 2}+x_{3}^{\prime 2}+x_{4}^{\prime 2}\\\left(x_{1}^{\prime }=x',\ x_{2}^{\prime }=y',\ x_{3}^{\prime }=z',\ x_{4}^{\prime }=it'\right)\\-x^{2}-y^{2}-z^{2}+t^{2}=-x^{\prime 2}-y^{\prime 2}-z^{\prime 2}+t^{\prime 2}\\\hline x_{h}=\alpha _{h1}x_{1}^{\prime }+\alpha _{h2}x_{2}^{\prime }+\alpha _{h3}x_{3}^{\prime }+\alpha _{h4}x_{4}^{\prime }\\\mathrm {A} =\mathrm {\left|{\begin{matrix}\alpha _{11},&\alpha _{12},&\alpha _{13},&\alpha _{14}\\\alpha _{21},&\alpha _{22},&\alpha _{23},&\alpha _{24}\\\alpha _{31},&\alpha _{32},&\alpha _{33},&\alpha _{34}\\\alpha _{41},&\alpha _{42},&\alpha _{43},&\alpha _{44}\end{matrix}}\right|,\ {\begin{aligned}{\bar {\mathrm {A} }}\mathrm {A} &=1\\\left(\det \mathrm {A} \right)^{2}&=1\\\det \mathrm {A} &=1\\\alpha _{44}&>0\end{aligned}}} \end{matrix}}$

Como representación gráfica de la transformación de Lorentz, introdujo el diagrama de Minkowski, que se convirtió en una herramienta estándar en libros de texto y artículos de investigación sobre la relatividad:​

Diagrama espacio-temporal original de Minkowski (1908)

Sommerfeld (1909) - Trigonometría

Utilizando una rapidez imaginaria como la de Minkowski, Arnold Sommerfeld (1909) formuló el impulso de Lorentz y la suma relativista de velocidades en términos de funciones trigonométricas y la ley esférica de los cosenos:​.

${\begin{matrix}\left.{\begin{array}{lrl}x'=&x\ \cos \varphi +l\ \sin \varphi ,&y'=y\\l'=&-x\ \sin \varphi +l\ \cos \varphi ,&z'=z\end{array}}\right\}\\\left(\operatorname {tg} \varphi =i\beta ,\ \cos \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}},\ \sin \varphi ={\frac {i\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)\\\hline \beta ={\frac {1}{i}}\operatorname {tg} \left(\varphi _{1}+\varphi _{2}\right)={\frac {1}{i}}{\frac {\operatorname {tg} \varphi _{1}+\operatorname {tg} \varphi _{2}}{1-\operatorname {tg} \varphi _{1}\operatorname {tg} \varphi _{2}}}={\frac {\beta _{1}+\beta _{2}}{1+\beta _{1}\beta _{2}}}\\\cos \varphi =\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}-\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}\cos \alpha \\v^{2}={\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2v_{1}v_{2}\cos \alpha -{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}^{2}v_{2}^{2}\sin ^{2}\alpha }{\left(1+{\frac {1}{c^{2}}}v_{1}v_{2}\cos \alpha \right)^{2}}}\end{matrix}}$

Frank (1909) - Funciones hiperbólicas

Philipp Frank (1909) utilizó funciones hiperbólicas, deduciendo la transformación de Lorentz mediante el uso de ψ como la rapidez:​

${\begin{matrix}x'=x\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi \\t'=-x\varphi (a)\,{\rm {sh}}\,\psi +t\varphi (a)\,{\rm {ch}}\,\psi \\\hline {\rm {th}}\,\psi =-a,\ {\rm {sh}}\,\psi ={\frac {a}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ {\rm {ch}}\,\psi ={\frac {1}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ \varphi (a)=1\\\hline x'={\frac {x-at}{\sqrt {1-a^{2}}}},\ y'=y,\ z'=z,\ t'={\frac {-ax+t}{\sqrt {1-a^{2}}}}\end{matrix}}$

Bateman y Cunningham (1909-1910) - Transformación de onda esférica

En línea con la investigación de Sophus Lie (1871) sobre la relación entre las transformaciones de una esfera con una coordenada de radio imaginario y transformaciones conformes 4D, Bateman y Cunningham (1909-1910) señalaron que al establecer u=ict como cuartas coordenadas imaginarias se pueden producir transformaciones conformes en el espacio-tiempo. No solo la forma cuadrática $\lambda \left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+du^{2}\right)$, sino también las ecuaciones de Maxwell son covariantes con respecto a estas transformaciones, independientemente de la elección de λ. Bateman llamó transformación de onda esférica a estas variantes de transformaciones conformes o de la esfera de Lie.​​ Sin embargo, esta covarianza está restringida a ciertas áreas como la electrodinámica, mientras que la totalidad de las leyes naturales en sistemas de referencia inerciales es covariante bajo el grupo de Lorentz.​ En particular, al establecer λ=1, el grupo de Lorentz SO(1,3) puede verse como un subgrupo de 10 parámetros del grupo conforme del espacio-tiempo Con(1,3) de 15 parámetros.

Bateman (1910-12)​ también aludió a la identidad entre las transformaciones de inversión de Laguerre y Lorentz. En general, el isomorfismo entre el grupo de Laguerre y el grupo de Lorentz fue señalado por Élie Cartan (1912, 1915-55),​ Henri Poincaré (1912-21)​ y otros.

Herglotz (1909/10) - Transformación de Möbius

Siguiendo a Felix Klein (1889-1897) y Fricke y Klein (1897) con respecto al movimiento hiperbólico absoluto de Cayley y su transformación, Gustav Herglotz (1909-10) clasificó las transformaciones de Lorentz de un parámetro como loxodrómicas, hiperbólicas, parabólicas y elípticas. El caso general (a la izquierda) y el caso hiperbólico equivalente a transformaciones de Lorentz o aplicaciones de compresión son los siguientes:​

$\left.{\begin{matrix}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0\\z_{1}=x,\ z_{2}=y,\ z_{3}=z,\ z_{4}=t\\Z={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}={\frac {x+iy}{t-z}},\ Z'={\frac {x'+iy'}{t'-z'}}\\Z={\frac {\alpha Z'+\beta }{\gamma Z'+\delta }}\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}Z=Z'e^{\vartheta }\\{\begin{aligned}x&=x',&t-z&=(t'-z')e^{\vartheta }\\y&=y',&t+z&=(t'+z')e^{-\vartheta }\end{aligned}}\end{matrix}}$

Varićak (1910) - Funciones hiperbólicas

Después de Sommerfeld (1909), Vladimir Varićak utilizó funciones hiperbólicas en varios artículos a partir de 1910, que representaron las ecuaciones de la relatividad especial sobre la base de la geometría hiperbólica en términos de coordenadas de Weierstrass. Por ejemplo, al establecer l=ct y v/c=tanh(u) con u como rapidez, escribió la transformación de Lorentz como:​

${\begin{aligned}l'&=-x\operatorname {sh} u+l\operatorname {ch} u,\\x'&=x\operatorname {ch} u-l\operatorname {sh} u,\\y'&=y,\quad z'=z,\\\operatorname {ch} u&={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\end{aligned}}$

y mostró la relación de la rapidez con la función de Gudermann y el ángulo de paralelismo:​

${\frac {v}{c}}=\operatorname {th} u=\operatorname {tg} \psi =\sin \operatorname {gd} (u)=\cos \Pi (u)$

También relacionó la adición de velocidad al teorema del coseno:​

${\begin{matrix}\operatorname {ch} {u}=\operatorname {ch} {u_{1}}\operatorname {c} h{u_{2}}+\operatorname {sh} {u_{1}}\operatorname {sh} {u_{2}}\cos \alpha \\\operatorname {ch} {u_{i}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}},\ \operatorname {sh} {u_{i}}={\frac {v_{i}}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{i}}{c}}\right)^{2}}}}\\v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}-\left({\frac {v_{1}v_{2}}{c}}\right)^{2}}}\ \left(a={\frac {\pi }{2}}\right)\end{matrix}}$

Posteriormente, otros autores como Edmund Whittaker (1910) o Alfred Robb (1911, que acuñó el nombre de rapidez) utilizaron expresiones similares, que aún se utilizan en los libros de texto modernos.

Plummer (1910) - Impulso de Lorentz en términos trigonométricos

Henry Crozier Keating Plummer (1910) definió el impulso de Lorentz en términos de funciones trigonométricas​

${\begin{matrix}\tau =t\sec \beta -x\tan \beta /U\\\xi =x\sec \beta -Ut\tan \beta \\\eta =y,\ \zeta =z,\\\hline \sin \beta =v/U\end{matrix}}$

Ignatowski (1910)

Mientras que las deducciones y formulaciones anteriores de la transformación de Lorentz se basaron desde el principio en la óptica, la electrodinámica o la invariancia de la velocidad de la luz, Vladimir Ignatowski (1910) demostró que es posible utilizar únicamente el principio de relatividad (y los principios de la teoría de grupos relacionados), para deducir la siguiente transformación entre dos marcos inerciales:​​

${\begin{aligned}dx'&=p\ dx-pq\ dt\\dt'&=-pqn\ dx+p\ dt\\p&={\frac {1}{\sqrt {1-q^{2}n}}}\end{aligned}}$

La variable n puede verse como una constante espacio-temporal cuyo valor debe determinarse mediante experimentos o tomarse de una ley física conocida como la electrodinámica. Para ello, Ignatowski utilizó el elipsoide de Heaviside antes mencionado, que representa una contracción de campos electrostáticos por x/γ en la dirección del movimiento. Se puede ver que esto solo es consistente con la transformación de Ignatowski cuando n=1/c², lo que resulta en p=γ y la transformación de Lorentz. Con n=0, no surgen cambios de longitud y se sigue la transformación galileana. El método de Ignatowski fue desarrollado y mejorado por Philipp Frank y Hermann Rothe (1911, 1912),​ y varios autores desarrollaron métodos similares en los años siguientes.​

Noether (1910), Klein (1910) - Cuaterniones

Felix Klein (1908) describió las multiplicaciones de cuaterniones 4D de Cayley (1854) como "Drehstreckungen" (sustituciones ortogonales en términos de rotaciones que dejan invariante una forma cuadrática hasta un factor), y señaló que el principio moderno de la relatividad proporcionado por Minkowski es esencialmente solo la consiguiente aplicación de tales "Drehstreckungen", aunque no proporcionó detalles.​

En un apéndice de la "Teoría de la cima" de Klein y Sommerfeld (1910), Fritz Noether mostró cómo formular rotaciones hiperbólicas utilizando bicuaterniones con $\omega ={\sqrt {-1}}$, que también relacionó con la velocidad de la luz estableciendo ω²=-c². Concluyó que este es el ingrediente principal para una representación racional del grupo de transformaciones de Lorentz:​

${\begin{matrix}V={\frac {Q_{1}vQ_{2}}{T_{1}T_{2}}}\\\hline X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+\omega ^{2}S^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\omega ^{2}s^{2}\\\hline {\begin{aligned}V&=Xi+Yj+Zk+\omega S\\v&=xi+yj+zk+\omega s\\Q_{1}&=(+Ai+Bj+Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k+D')\\Q_{2}&=(-Ai-Bj-Ck+D)+\omega (A'i+B'j+C'k-D')\\T_{1}T_{2}&=T_{1}^{2}=T_{2}^{2}=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}+\omega ^{2}\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\end{aligned}}\end{matrix}}$

Además de citar obras estándar relacionadas con los cuaterniones de Arthur Cayley (1854), Noether se refirió a las entradas de la enciclopedia de Klein de Eduard Study (1899) y la versión francesa de Élie Cartan (1908). La versión de Cartan​ contiene una descripción de los números duales del estudio, los bicuaterniones de Clifford (incluida la elección $\omega ={\sqrt {-1}}$ para la geometría hiperbólica) y el álgebra de Clifford, con referencias a Stephanos (1883), Buchheim (1884-85), Vahlen (1901-02) y otros.

Citando a Noether, el propio Klein publicó en agosto de 1910 las siguientes sustituciones de cuaterniones que forman el grupo de transformaciones de Lorentz:​

${\begin{matrix}{\begin{aligned}&\left(i_{1}x'+i_{2}y'+i_{3}z'+ict'\right)\\&\quad -\left(i_{1}x_{0}+i_{2}y_{0}+i_{3}z_{0}+ict_{0}\right)\end{aligned}}={\frac {\left[{\begin{aligned}&\left(i_{1}(A+iA')+i_{2}(B+iB')+i_{3}(C+iC')+i_{4}(D+iD')\right)\\&\quad \cdot \left(i_{1}x+i_{2}y+i_{3}z+ict\right)\\&\quad \quad \cdot \left(i_{1}(A-iA')+i_{2}(B-iB')+i_{3}(C-iC')-(D-iD')\right)\end{aligned}}\right]}{\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)-\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)}}\\\hline {\text{where}}\\AA'+BB'+CC'+DD'=0\\A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{matrix}}$

o en marzo de 1911:​

${\begin{matrix}g'={\frac {pg\pi }{M}}\\\hline {\begin{aligned}g&={\sqrt {-1}}ct+ix+jy+kz\\g'&={\sqrt {-1}}ct'+ix'+jy'+kz'\\p&=(D+{\sqrt {-1}}D')+i(A+{\sqrt {-1}}A')+j(B+{\sqrt {-1}}B')+k(C+{\sqrt {-1}}C')\\\pi &=(D-{\sqrt {-1}}D')-i(A-{\sqrt {-1}}A')-j(B-{\sqrt {-1}}B')-k(C-{\sqrt {-1}}C')\\M&=\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}\right)-\left(A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\right)\\&AA'+BB'+CC'+DD'=0\\&A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2}>A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}+D^{\prime 2}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Conway (1911), Silberstein (1911) - Cuaterniones

Arthur W. Conway en febrero de 1911 formuló explícitamente transformaciones cuaterniónicas de Lorentz de varias cantidades electromagnéticas en términos de velocidad λ:​

${\begin{matrix}{\begin{aligned}{\mathtt {D}}&=\mathbf {a} ^{-1}{\mathtt {D}}'\mathbf {a} ^{-1}\\{\mathtt {\sigma }}&=\mathbf {a} {\mathtt {\sigma }}'\mathbf {a} ^{-1}\end{aligned}}\\e=\mathbf {a} ^{-1}e'\mathbf {a} ^{-1}\\\hline a=\left(1-hc^{-1}\lambda \right)^{\frac {1}{2}}\left(1+c^{-2}\lambda ^{2}\right)^{-{\frac {1}{4}}}\end{matrix}}$

También Ludwik Silberstein en noviembre de 1911​ así como en 1914,​ formuló la transformación de Lorentz en términos de velocidad v:

${\begin{matrix}q'=QqQ\\\hline {\begin{aligned}q&=\mathbf {r} +l=xi+yj+zk+\iota ct\\q&'=\mathbf {r} '+l'=x'i+y'j+z'k+\iota ct'\\Q&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\sqrt {1+\gamma }}+\mathrm {u} {\sqrt {1-\gamma }}\right)\\&=\cos \alpha +\mathrm {u} \sin \alpha =e^{\alpha \mathrm {u} }\\&\left\{\gamma =\left(1-v^{2}/c^{2}\right)^{-1/2},\ 2\alpha =\operatorname {arctg} \ \left(\iota {\frac {v}{c}}\right)\right\}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Silberstein cita a Cayley (1854, 1855) y la entrada de la enciclopedia de Study (en la versión francesa ampliada de Cartan en 1908), así como el apéndice del libro de Klein y Sommerfeld.

Ignatowski (1910/11), Herglotz (1911) y otros - Transformación vectorial

Vladimir Ignatowski (1910, publicado en 1911) mostró cómo reformular la transformación de Lorentz para permitir velocidades y coordenadas arbitrarias:​

${\begin{matrix}{\begin{matrix}{\mathfrak {v}}={\frac {{\mathfrak {v}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'+pq{\mathfrak {c}}_{0}}{p\left(1+nq{\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {v}}'\right)}}&\left|{\begin{aligned}{\mathfrak {A}}'&={\mathfrak {A}}+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}-pqb{\mathfrak {c}}_{0}\\b'&=pb-pqn{\mathfrak {A}}{\mathfrak {c}}_{0}\\\\{\mathfrak {A}}&={\mathfrak {A}}'+(p-1){\mathfrak {c}}_{0}\cdot {\mathfrak {c}}_{0}{\mathfrak {A}}'+pqb'{\mathfrak {c}}_{0}\\b&=pb'+pqn{\mathfrak {A}}'{\mathfrak {c}}_{0}\end{aligned}}\right.\end{matrix}}\\\left[{\mathfrak {v}}=\mathbf {u} ,\ {\mathfrak {A}}=\mathbf {x} ,\ b=t,\ {\mathfrak {c}}_{0}={\frac {\mathbf {v} }{v}},\ p=\gamma ,\ n={\frac {1}{c^{2}}}\right]\end{matrix}}$

Gustav Herglotz (1911)​ también mostró cómo formular la transformación para permitir velocidades y coordenadas arbitrarias v=(v_x, v_y, v_z) y r=' '(x,y,z):

${\begin{matrix}{\text{original}}&{\text{moderno}}\\\hline \left.{\begin{aligned}x^{0}&=x+\alpha u(ux+vy+wz)-\beta ut\\y^{0}&=y+\alpha v(ux+vy+wz)-\beta vt\\z^{0}&=z+\alpha w(ux+vy+wz)-\beta wt\\t^{0}&=-\beta (ux+vy+wz)+\beta t\\&\alpha ={\frac {1}{{\sqrt {1-s^{2}}}\left(1+{\sqrt {1-s^{2}}}\right)}},\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-s^{2}}}}\end{aligned}}\right|&{\begin{aligned}x'&=x+\alpha v_{x}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{x}t\\y'&=y+\alpha v_{y}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{y}t\\z'&=z+\alpha v_{z}\left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)-\gamma v_{z}t\\t'&=-\gamma \left(v_{x}x+v_{y}y+v_{z}z\right)+\gamma t\\&\alpha ={\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}},\ \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}}}}\end{aligned}}\end{matrix}}$

Esto fue simplificado usando notación vectorial por Ludwik Silberstein (1911 a la izquierda, 1914 a la derecha):​

${\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {ru} )\mathbf {u} +i\beta \gamma lu\\l'&=\gamma \left[l-i\beta (\mathbf {ru} )\right]\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {vr} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \\t'&=\gamma \left[t-{\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {vr} )\right]\end{aligned}}\end{array}}$

Wolfgang Pauli (1921) también proporcionó fórmulas equivalentes,​ y Erwin Madelung (1922) proporcionó la forma matricial​

${\begin{array}{c|c|c|c|c}&x&y&z&t\\\hline x'&1-{\frac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{x}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\y'&-{\frac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{y}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\z'&-{\frac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&-{\frac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&1-{\frac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\right)&{\frac {-v_{z}}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\t'&{\frac {-v_{x}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{y}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {-v_{z}}{c^{2}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\end{array}}$

Estas fórmulas fueron denominadas "transformación general de Lorentz sin rotación" por Christian Møller (1952),​ quien además dio una transformación de Lorentz aún más general en la que los ejes cartesianos tienen diferentes orientaciones, utilizando un operador de rotación ${\mathfrak {D}}$. En este caso, v′=(v′_x, v′_y, v′_z) no es igual a -v=(-v_x, - v_y, -v_z), pero en su lugar se mantiene la relación $\mathbf {v} '=-{\mathfrak {D}}\mathbf {v}$, con el resultado

${\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathbf {x} '&={\mathfrak {D}}^{-1}\mathbf {x} -\mathbf {v} '\left\{\left(\gamma -1\right)(\mathbf {x\cdot v} )/v^{2}-\gamma t\right\}\\t'&=\gamma \left(t-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {x} )/c^{2}\right)\end{aligned}}\end{array}}$

Borel (1913-14) - Parámetro de Cayley-Hermite

Émile Borel (1913) comenzó demostrando los movimientos euclídeos utilizando el parámetro de Euler-Rodrigues en tres dimensiones y el parámetro de Cayley (1846) en cuatro dimensiones. Luego demostró la conexión con formas cuadráticas indefinidas que expresan movimientos hiperbólicos y transformaciones de Lorentz. En tres dimensiones:​

${\begin{matrix}x^{2}+y^{2}-z^{2}-1=0\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}\delta a&=\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta b&=2(\lambda \mu +\nu \rho ),&\delta c&=-2(\lambda \nu +\mu \rho ),\\\delta a'&=2(\lambda \mu -\nu \rho ),&\delta b'&=-\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}-\rho ^{2},&\delta c'&=2(\lambda \rho -\mu \nu ),\\\delta a''&=2(\lambda \nu -\mu \rho ),&\delta b''&=2(\lambda \rho +\mu \nu ),&\delta c''&=-\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}+\rho ^{2}\right),\end{aligned}}}\\\left(\delta =\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\rho ^{2}-\nu ^{2}\right)\\\lambda =\nu =0\rightarrow {\text{Hyperbolic rotation}}\end{matrix}}$

En cuatro dimensiones:​

${\begin{matrix}F=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}+\left(z_{1}-z_{2}\right)^{2}-\left(t_{1}-t_{2}\right)^{2}\\\hline {\scriptstyle {\begin{aligned}&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\alpha ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi -\gamma \operatorname {sh} {\theta }\\&-(\alpha \beta +\lambda \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\nu \sin \varphi +\gamma \operatorname {sh} {\theta }&&\left(\mu ^{2}+\nu ^{2}-\beta ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\mu ^{2}-\alpha ^{2}-\gamma ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\\&-(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi -\beta \operatorname {sh} {\theta }&&-(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\lambda \sin \varphi +\alpha \operatorname {sh} {\theta }\\&(\gamma \mu -\beta \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }&&-(\alpha \nu -\lambda \gamma )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\\\&\quad -(\alpha \gamma +\lambda \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\mu \sin \varphi +\beta \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\beta \nu -\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\alpha \sin \varphi -\lambda \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad -(\beta \mu +\mu \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })-\lambda \sin \varphi -\alpha \operatorname {sh} {\theta }&&\quad (\lambda \gamma -\alpha \nu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\beta \sin \varphi -\mu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad \left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\nu ^{2}-\alpha ^{2}-\beta ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }&&\quad (\alpha \mu -\beta \lambda )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }\\&\quad (\beta \gamma -\alpha \mu )(\cos \varphi -\operatorname {ch} {\theta })+\gamma \sin \varphi -\nu \operatorname {sh} {\theta }&&\quad -\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}\right)\cos \varphi +\left(\lambda ^{2}+\mu ^{2}+\nu ^{2}\right)\operatorname {ch} {\theta }\end{aligned}}}\\\left(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\lambda ^{2}-\mu ^{2}-\nu ^{2}=-1\right)\end{matrix}}$

Gruner (1921) - Desarrollo trigonométrico de Lorentz

Para simplificar la representación gráfica del espacio de Minkowski, Paul Gruner (1921) (con la ayuda de Josef Sauter) desarrolló lo que ahora se llama diagrama de Minkowski, utilizando las siguientes relaciones:​

${\begin{matrix}v=\alpha \cdot c;\quad \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}\\\sin \varphi =\alpha ;\quad \beta ={\frac {1}{\cos \varphi }};\quad \alpha \beta =\tan \varphi \\\hline x'={\frac {x}{\cos \varphi }}-t\cdot \tan \varphi ,\quad t'={\frac {t}{\cos \varphi }}-x\cdot \tan \varphi \end{matrix}}$

En otro artículo, Gruner utilizó las relaciones alternativas:​

${\begin{matrix}\alpha ={\frac {v}{c}};\ \beta ={\frac {1}{\sqrt {1-\alpha ^{2}}}};\\\cos \theta =\alpha ={\frac {v}{c}};\ \sin \theta ={\frac {1}{\beta }};\ \cot \theta =\alpha \cdot \beta \\\hline x'={\frac {x}{\sin \theta }}-t\cdot \cot \theta ,\quad t'={\frac {t}{\sin \theta }}-x\cdot \cot \theta \end{matrix}}$

Véase también

• Deducción de las transformaciones de Lorentz
• Historia de la relatividad especial

Referencias

Fuentes matemáticas históricas

• The Wikiversity: History of most general Lorentz transformations

includes contributions of Carl Friedrich Gauss (1818), Carl Gustav Jakob Jacobi (1827, 1833/34), Michel Chasles (1829), Victor-Amédée Lebesgue (1837), Thomas Weddle (1847), Edmond Bour (1856), Osip Ivanovich Somov (1863), Wilhelm Killing (1878-1893), Henri Poincaré (1881), Homersham Cox (1881-1883), George William Hill (1882), Charles Émile Picard (1882-1884), Octave Callandreau (1885), Sophus Lie (1885-1890), Louis Gérard (1892), Felix Hausdorff (1899), Frederick S. Woods (1901-05), Heinrich Liebmann (1904/05).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via imaginary orthogonal transformation

includes contributions of Sophus Lie (1871), Hermann Minkowski (1907-1908), Arnold Sommerfeld (1909).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via hyperbolic functions

includes contributions of Vincenzo Riccati (1757), Johann Heinrich Lambert (1768-1770), Franz Taurinus (1826), Eugenio Beltrami (1868), Charles-Ange Laisant (1874), Gustav von Escherich (1874), James Whitbread Lee Glaisher (1878), Siegmund Günther (1880/81), Homersham Cox (1881/82), Rudolf Lipschitz (1885/86), Friedrich Schur (1885-1902), Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1890-91), Louis Gérard (1892), Wilhelm Killing (1893-97), Alfred North Whitehead (1897/98), Edwin Bailey Elliott (1903), Frederick S. Woods (1903), Heinrich Liebmann (1904/05), Philipp Frank (1909), Gustav Herglotz (1909/10), Vladimir Varićak (1910).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via sphere transformation

includes contributions of Pierre Ossian Bonnet (1856), Albert Ribaucour (1870), Sophus Lie (1871a), Jean Gaston Darboux (1873-87), Edmond Laguerre (1880), Cyparissos Stephanos (1883), Georg Scheffers (1899), Percey F. Smith (1900), Harry Bateman and Ebenezer Cunningham (1909-1910).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via Cayley-Hermite transformation

was used by Arthur Cayley (1846-1855), Charles Hermite (1853, 1854), Paul Gustav Heinrich Bachmann (1869), Edmond Laguerre (1882), Jean Gaston Darboux (1887), Percey F. Smith (1900), Émile Borel (1913).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via Cayley-Klein parameters, Möbius and spin transformations

includes contributions of Carl Friedrich Gauss (1801/63), Felix Klein (1871-97), Eduard Selling (1873-74), Henri Poincaré (1881), Luigi Bianchi (1888-93), Robert Fricke (1891-97), Frederick S. Woods (1895), Gustav Herglotz (1909/10).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via quaternions and hyperbolic numbers

includes contributions of James Cockle (1848), Homersham Cox (1882/83), Cyparissos Stephanos (1883), Arthur Buchheim (1884), Rudolf Lipschitz (1885/86), Theodor Vahlen (1901/02), Fritz Noether (1910), Felix Klein (1910), Arthur W. Conway (1911), Ludwik Silberstein (1911).

• The Wikiversity: Lorentz transformation via trigonometric functions

includes contributions of Luigi Bianchi (1886), Jean Gaston Darboux (1891/94), Georg Scheffers (1899), Luther Pfahler Eisenhart (1905), Vladimir Varićak (1910), Henry Crozier Keating Plummer (1910), Paul Gruner (1921).

• The Wikiversity: History of Lorentz transformations via squeeze mappings

includes contributions of Antoine André Louis Reynaud (1819), Felix Klein (1871), Charles-Ange Laisant (1874), Sophus Lie (1879-84), Siegmund Günther (1880/81), Edmond Laguerre (1882), Jean Gaston Darboux (1883-1891), Rudolf Lipschitz (1885/86), Luigi Bianchi (1886-1894), Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1890/91), Mellen W. Haskell (1895), Percey F. Smith (1900), Edwin Bailey Elliott (1903), Luther Pfahler Eisenhart (1905).

Fuentes históricas de la relatividad

Bibliografía

• Abraham, M. (1905). «§ 42. Die Lichtzeit in einem gleichförmig bewegten System». Theorie der Elektrizität: Elektromagnetische Theorie der Strahlung. Leipzig: Teubner. 
• Bateman, Harry (1910) [1909]. «The Transformation of the Electrodynamical Equations». Proceedings of the London Mathematical Society 8: 223-264. doi:10.1112/plms/s2-8.1.223. 
• Bateman, Harry (1912) [1910]. «Some geometrical theorems connected with Laplace's equation and the equation of wave motion». American Journal of Mathematics 34 (3): 325-360. JSTOR 2370223. doi:10.2307/2370223. 
• Borel, Émile (1914). Introduction Geometrique à quelques Théories Physiques. Paris: Gauthier-Villars. 
• Brill, J. (1925). «Note on the Lorentz group». Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 22 (5): 630-632. Bibcode:1925PCPS...22..630B. S2CID 121117536. doi:10.1017/S030500410000949X. 
• Bucherer, A. H. (1904). Mathematische Einführung in die Elektronentheorie. Leipzig: Teubner. 
• Bucherer, A. H. (1908), «Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie. (Measurements of Becquerel rays. The Experimental Confirmation of the Lorentz-Einstein Theory)», Physikalische Zeitschrift 9 (22): 758-762 .. Para las declaraciones de Minkowski y Voigt, consulte la página 762.
• Cartan, Élie (1912). «Sur les groupes de transformation de contact et la Cinématique nouvelle». Société de Mathématique the France - Comptes Rendus des Séances: 23. 
• Cohn, Emil (1904a), «Zur Elektrodynamik bewegter Systeme I» [On the Electrodynamics of Moving Systems I], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1904/2 (40): 1294-1303 .
• Cohn, Emil (1904b), «Zur Elektrodynamik bewegter Systeme II» [On the Electrodynamics of Moving Systems II], Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, 1904/2 (43): 1404-1416 .
• Conway, A. W. (1911). «On the application of quaternions to some recent developments of electrical theory». Proceedings of the Royal Irish Academy, Section A 29: 1-9. 
• Cunningham, Ebenezer (1910) [1909]. «The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof». Proceedings of the London Mathematical Society 8: 77-98. doi:10.1112/plms/s2-8.1.77. 
• Einstein, Albert (1905), «Zur Elektrodynamik bewegter Körper», Annalen der Physik 322 (10): 891-921, Bibcode:1905AnP...322..891E, doi:10.1002/andp.19053221004 .. Véase también: traducción al inglés.
• Frank, Philipp (1909). «Die Stellung des Relativitätsprinzips im System der Mechanik und Elektrodynamik». Wiener Sitzungsberichte IIA 118: 373-446. hdl:2027/mdp.39015073682224. 
• Frank, Philipp; Rothe, Hermann (1911). «Über die Transformation der Raum-Zeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme». Annalen der Physik 339 (5): 825-855. Bibcode:1911AnP...339..825F. doi:10.1002/andp.19113390502. 
• Frank, Philipp; Rothe, Hermann (1912). «Zur Herleitung der Lorentztransformation». Physikalische Zeitschrift 13: 750-753. 
• Gans, Richard (1905), «H. A. Lorentz. Elektromagnetische Vorgänge» [H.A. Lorentz: Electromagnetic Phenomena], Beiblätter zu den Annalen der Physik 29 (4): 168-170 .
• Gruner, Paul; Sauter, Josef (1921a). «Représentation géométrique élémentaire des formules de la théorie de la relativité» [Elementary geometric representation of the formulas of the special theory of relativity]. Archives des sciences physiques et naturelles. 5 3: 295-296. 
• Gruner, Paul (1921b). «Eine elementare geometrische Darstellung der Transformationsformeln der speziellen Relativitätstheorie» [An elementary geometrical representation of the transformation formulas of the special theory of relativity]. Physikalische Zeitschrift 22: 384-385. 
• Heaviside, Oliver (1889), «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric», Philosophical Magazine, 5 27 (167): 324-339, doi:10.1080/14786448908628362 .
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], «Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper» [On bodies that are to be designated as "rigid" from the standpoint of the relativity principle], Annalen der Physik 336 (2): 393-415, Bibcode:1910AnP...336..393H, doi:10.1002/andp.19103360208 .
• Herglotz, G. (1911). «Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie». Annalen der Physik 341 (13): 493-533. Bibcode:1911AnP...341..493H. doi:10.1002/andp.19113411303. ; Traducción al inglés de David Delphenich: Sobre la mecánica de cuerpos deformables de el punto de vista de la teoría de la relatividad.
• Ignatowsky, W. v. (1910). «Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip». Physikalische Zeitschrift 11: 972-976. 
• Ignatowski, W. v. (1911) [1910]. «Das Relativitätsprinzip». Archiv der Mathematik und Physik 18: 17-40. 
• Ignatowski, W. v. (1911). «Eine Bemerkung zu meiner Arbeit: "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip"». Physikalische Zeitschrift 12: 779. 
• Klein, F. (1908). Hellinger, E., ed. Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I. Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08. Leipzig: Teubner. 
• Klein, Felix (1921) [1910]. «Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe». Gesammelte Mathematische Abhandlungen 1. pp. 533-552. ISBN 978-3-642-51898-0. doi:10.1007/978-3-642-51960-4_31. 
• Klein, F.; Sommerfeld A. (1910). Noether, Fr., ed. Über die Theorie des Kreisels. Heft IV. Leipzig: Teuber. 
• Klein, F. (1911). Hellinger, E., ed. Elementarmethematik vom höheren Standpunkte aus. Teil I (Second Edition). Vorlesung gehalten während des Wintersemesters 1907-08. Leipzig: Teubner. hdl:2027/mdp.39015068187817. 
• Larmor, Joseph (1897), «On a Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Medium, Part 3, Relations with material media», Philosophical Transactions of the Royal Society 190: 205-300, Bibcode:1897RSPTA.190..205L, doi:10.1098/rsta.1897.0020 .
• Larmor, Joseph (1929) [1897], «On a Dynamical Theory of the Electric and Luminiferous Medium. Part 3: Relations with material media», Mathematical and Physical Papers: Volume II, Cambridge University Press, pp. 2-132, ISBN 978-1-107-53640-1 . (Reimpresión de Larmor (1897) con nuevas anotaciones de Larmor.)
• Larmor, Joseph (1900), Aether and Matter, Cambridge University Press .
• Larmor, Joseph (1904a). «On the intensity of the natural radiation from moving bodies and its mechanical reaction». Philosophical Magazine 7 (41): 578-586. doi:10.1080/14786440409463149. 
• Larmor, Joseph (1904b). «On the ascertained Absence of Effects of Motion through the Aether, in relation to the Constitution of Matter, and on the FitzGerald-Lorentz Hypothesis». Philosophical Magazine 7 (42): 621-625. doi:10.1080/14786440409463156. 
• Lorentz, Hendrik Antoon (1892a), «La Théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants», Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles 25: 363-552 .
• Lorentz, Hendrik Antoon (1892b), «De relatieve beweging van de aarde en den aether» [The Relative Motion of the Earth and the Aether], Zittingsverlag Akad. V. Wet. 1: 74-79 .
• Lorentz, Hendrik Antoon (1895), Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern [Attempt of a Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Bodies], Leiden: E.J. Brill .
• Lorentz, Hendrik Antoon (1899), «Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems», Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 1: 427-442, Bibcode:1898KNAB....1..427L .
• Lorentz, Hendrik Antoon (1904), «Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light», Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences 6: 809-831, Bibcode:1903KNAB....6..809L .
• Lorentz, Hendrik Antoon (1916) [1915], The theory of electrons and its applications to the phenomena of light and radiant heat, Leipzig & Berlin: B.G. Teubner .
• Minkowski, Hermann (1915) [1907], «Das Relativitätsprinzip», Annalen der Physik 352 (15): 927-938, Bibcode:1915AnP...352..927M, doi:10.1002/andp.19153521505 .
• Minkowski, Hermann (1908) [1907], «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern» [The Fundamental Equations for Electromagnetic Processes in Moving Bodies], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse: 53-111 .
• Minkowski, Hermann (1909) [1908], «Space and Time», Physikalische Zeitschrift 10: 75-88 .
• Müller, Hans Robert (1948). «Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie». Monatshefte für Mathematik und Physik 52 (4): 337-353. S2CID 120150204. doi:10.1007/BF01525338. 
• Plummer, H.C.K. (1910), «On the Theory of Aberration and the Principle of Relativity», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 40 (3): 252-266, Bibcode:1910MNRAS..70..252P, doi:10.1093/mnras/70.3.252 .
• Poincaré, Henri (1900), «La théorie de Lorentz et le principe de réaction», Archives Néerlandaises des Sciences Exactes et Naturelles 5: 252-278 .. Véase también la traducción al inglés.
• Poincaré, Henri (1906) [1904], «The Principles of Mathematical Physics», Congress of arts and science, universal exposition, St. Louis, 1904 1, Boston and New York: Houghton, Mifflin and Company, pp. 604-622 .
• Poincaré, Henri (1905), «Sur la dynamique de l'électron» [On the Dynamics of the Electron], Comptes Rendus 140: 1504-1508 .
• Poincaré, Henri (1906) [1905], «Sur la dynamique de l'électron» [On the Dynamics of the Electron], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo 21: 129-176, Bibcode:1906RCMP...21..129P, S2CID 120211823, doi:10.1007/BF03013466, hdl:2027/uiug.30112063899089 .
• Poincaré, Henri (1921) [1912]. «Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)». Acta Mathematica 38 (1): 137-145. doi:10.1007/bf02392064.  Escrito por Poincaré en 1912, impreso en Acta Mathematica en 1914, aunque publicado tardíamente en 1921.
• Searle, George Frederick Charles (1897), «On the Steady Motion of an Electrified Ellipsoid», Philosophical Magazine, 5 44 (269): 329-341, doi:10.1080/14786449708621072 .
• Silberstein, L. (1912) [1911], «Quaternionic form of relativity», The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 23 (137): 790-809, doi:10.1080/14786440508637276 .
• Sommerfeld, A. (1909), «Über die Zusammensetzung der Geschwindigkeiten in der Relativtheorie» [Wikisource translation: On the Composition of Velocities in the Theory of Relativity], Verh. Dtsch. Phys. Ges. 21: 577-582 .
• Thomson, Joseph John (1889), «On the Magnetic Effects produced by Motion in the Electric Field», Philosophical Magazine, 5 28 (170): 1-14, doi:10.1080/14786448908619821 .
• Varićak, V. (1910), «Anwendung der Lobatschefskijschen Geometrie in der Relativtheorie» [Application of Lobachevskian Geometry in the Theory of Relativity], Physikalische Zeitschrift 11: 93-6 .
• Varičak, V. (1912), «Über die nichteuklidische Interpretation der Relativtheorie» [On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity], Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 21: 103-127 .
• Voigt, Woldemar (1887), «Ueber das Doppler'sche Princip» [On the Principle of Doppler], Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen (2): 41-51 .
• Wien, Wilhelm (1904). «Zur Elektronentheorie». Physikalische Zeitschrift 5 (14): 393-395. 

Fuentes secundarias

Bibliografía

• Baccetti, Valentina; Tate, Kyle; Visser, Matt (2012). «Inertial frames without the relativity principle». Journal of High Energy Physics 2012 (5): 119. Bibcode:2012JHEP...05..119B. S2CID 118695037. arXiv:1112.1466. doi:10.1007/JHEP05(2012)119. 
• Bachmann, P. (1898). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Erste Abtheilung. Leipzig: B.G. Teubner. 
• Bachmann, P. (1923). Die Arithmetik der quadratischen Formen. Zweite Abtheilung. Leipzig: B.G. Teubner. 
• Barnett, J. H. (2004). «Enter, stage center: The early drama of the hyperbolic functions». Mathematics Magazine 77 (1): 15-30. S2CID 121088132. doi:10.1080/0025570x.2004.11953223. 
• Bôcher, Maxim (1907). «Quadratic forms». Introduction to higher algebra. New York: Macmillan. 
• Bondi, Hermann (1964). Relativity and Common Sense. New York: Doubleday & Company. 
• Bonola, R. (1912). Non-Euclidean geometry: A critical and historical study of its development. Chicago: Open Court. 
• Brown, Harvey R. (2001), «The origins of length contraction: I. The FitzGerald-Lorentz deformation hypothesis», American Journal of Physics 69 (10): 1044-1054, Bibcode:2001AmJPh..69.1044B, S2CID 2945585, arXiv:gr-qc/0104032, doi:10.1119/1.1379733 . Véase también "Michelson, FitzGerald y Lorentz: una revisión de los orígenes de la relatividad", Online.
• Cartan, É.; Study, E. (1908). «Nombres complexes». Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées 1 (1): 328-468. 
• Cartan, É.; Fano, G. (1955) [1915]. «La théorie des groupes continus et la géométrie». Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées 3 (1): 39-43.  (En 1915 solo se publicaron las páginas 1 a 21; el artículo completo, incluidas las páginas 39 a 43, sobre los grupos de Laguerre y Lorentz, se publicó póstumamente en 1955 en la colección de artículos de Cartan y se reimprimió en la Encyclopédie en 1991. )
• Coolidge, Julian (1916). A treatise on the circle and the sphere. Oxford: Clarendon Press. 
• Darrigol, Olivier (2000), Electrodynamics from Ampère to Einstein, Oxford: Oxford Univ. Press, ISBN 978-0-19-850594-5 .
• Darrigol, Olivier (2005), «The Genesis of the theory of relativity», Séminaire Poincaré 1: 1-22, Bibcode:2006eins.book....1D, ISBN 978-3-7643-7435-8, doi:10.1007/3-7643-7436-5_1 .
• Dickson, L.E. (1923). History of the theory of numbers, Volume III, Quadratic and higher forms. Washington: Washington Carnegie Institution of Washington. 
• Fjelstad, P. (1986). «Extending special relativity via the perplex numbers». American Journal of Physics 54 (5): 416-422. Bibcode:1986AmJPh..54..416F. doi:10.1119/1.14605. 
• Girard, P. R. (1984). «The quaternion group and modern physics». European Journal of Physics 5 (1): 25-32. Bibcode:1984EJPh....5...25G. S2CID 250775753. doi:10.1088/0143-0807/5/1/007. 
• Gray, J. (1979). «Non-euclidean geometry—A re-interpretation». Historia Mathematica 6 (3): 236-258. doi:10.1016/0315-0860(79)90124-1. 
• Gray, J.; Scott W. (1997). «Introduction». Trois suppléments sur la découverte des fonctions fuchsiennes. Berlin. pp. 7-28. 
• Hawkins, Thomas (2013). «The Cayley-Hermite problem and matrix algebra». The Mathematics of Frobenius in Context: A Journey Through 18th to 20th Century Mathematics. Springer. ISBN 978-1461463337. 
• Janssen, Michel (1995), A Comparison between Lorentz's Ether Theory and Special Relativity in the Light of the Experiments of Trouton and Noble (Thesis) .
• Kastrup, H. A. (2008). «On the advancements of conformal transformations and their associated symmetries in geometry and theoretical physics». Annalen der Physik 520 (9-10): 631-690. Bibcode:2008AnP...520..631K. S2CID 12020510. arXiv:0808.2730. doi:10.1002/andp.200810324. 
• Katzir, Shaul (2005), «Poincaré's Relativistic Physics: Its Origins and Nature», Physics in Perspective 7 (3): 268-292, Bibcode:2005PhP.....7..268K, S2CID 14751280, doi:10.1007/s00016-004-0234-y .
• Klein, F. (1897) [1896]. The Mathematical Theory of the Top. New York: Scribner. 
• Klein, Felix; Blaschke, Wilhelm (1926). Vorlesungen über höhere Geometrie. Berlin: Springer. 
• von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (fourth edition of "Das Relativitätsprinzip" edición). Vieweg. ; Primera edición 1911, segunda edición ampliada 1913, tercera edición ampliada 1919.
• Lorente, M. (2003). «Representations of classical groups on the lattice and its application to the field theory on discrete space-time». Symmetries in Science VI: 437-454. Bibcode:2003hep.lat..12042L. arXiv:hep-lat/0312042. 
• Macrossan, M. N. (1986), «A Note on Relativity Before Einstein», The British Journal for the Philosophy of Science 37 (2): 232-234, doi:10.1093/bjps/37.2.232, «citeseerx: 10.1.1.679.5898» .
• Madelung, E. (1922). Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers. Berlin: Springer. 
• Majerník, V. (1986). «Representation of relativistic quantities by trigonometric functions». American Journal of Physics 54 (6): 536-538. Bibcode:1986AmJPh..54..536M. doi:10.1119/1.14557. 
• Meyer, W.F. (1899). «Invariantentheorie». Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften 1 (1): 322-455. 
• Miller, Arthur I. (1981), Albert Einstein's special theory of relativity. Emergence (1905) and early interpretation (1905-1911), Reading: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-04679-3 .
• Møller, C. (1955) [1952]. The theory of relativity. Oxford Clarendon Press. 
• Müller, Emil (1910). «Die verschiedenen Koordinatensysteme». Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1: 596-770. 
• Musen, P. (1970). «A Discussion of Hill's Method of Secular Perturbations...». Celestial Mechanics 2 (1): 41-59. Bibcode:1970CeMec...2...41M. S2CID 122335532. doi:10.1007/BF01230449. hdl:2060/19700018328. 
• Naimark, M. A. (2014) [1964]. Linear Representations of the Lorentz Group. Oxford. ISBN 978-1483184982. 
• Pacheco, R. (2008). «Bianchi-Bäcklund transforms and dressing actions, revisited.». Geometriae Dedicata 146 (1): 85-99. S2CID 14356965. arXiv:0808.4138. doi:10.1007/s10711-009-9427-5. 
• Pauli, Wolfgang (1921), «Die Relativitätstheorie», Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften 5 (2): 539-776 .
  En inglés: Pauli, W. (1981) [1921]. «Theory of Relativity». Fundamental Theories of Physics 165 (Dover Publications). ISBN 978-0-486-64152-2. 
• Pais, Abraham (1982), Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-520438-4 .
• Penrose, R.; Rindler W. (1984), Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields, Cambridge University Press, ISBN 978-0521337076 .
• Plummer, H. C. (1910), «On the Theory of Aberration and the Principle of Relativity», Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 70 (3): 252-266, Bibcode:1910MNRAS..70..252P, doi:10.1093/mnras/70.3.252 .
• Ratcliffe, J. G. (1994). «Hyperbolic geometry». Foundations of Hyperbolic Manifolds. New York. pp. 56-104. ISBN 978-0387943480. 
• Reynolds, W. F. (1993). «Hyperbolic geometry on a hyperboloid». The American Mathematical Monthly 100 (5): 442-455. JSTOR 2324297. S2CID 124088818. doi:10.1080/00029890.1993.11990430. 
• Rindler, W. (2013) [1969]. Essential Relativity: Special, General, and Cosmological. Springer. ISBN 978-1475711356. 
• Robinson, E.A. (1990). Einstein's relativity in metaphor and mathematics. Prentice Hall. ISBN 9780132464970. 
• Rosenfeld, B.A. (1988). A History of Non-Euclidean Geometry: Evolution of the Concept of a Geometric Space. New York: Springer. ISBN 978-1441986801. 
• Rothe, H. (1916). «Systeme geometrischer Analyse». Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften. 3.1.1: 1282-1425. 
• Schottenloher, M. (2008). A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory. Springer. ISBN 978-3540706908. 
• Silberstein, L. (1914). The Theory of Relativity. London: Macmillan. 
• Sobczyk, G. (1995). «The Hyperbolic Number Plane». The College Mathematics Journal 26 (4): 268-280. JSTOR 2687027. doi:10.2307/2687027. 
• Sommerville, D. M. L. Y. (1911). Bibliography of non-Euclidean geometry. London: London Pub. by Harrison for the University of St. Andrews. 
• Synge, J. L. (1956), Relativity: The Special Theory, North Holland .
• Synge, J.L. (1972). «Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices». Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies 21. 
• Terng, C. L.; Uhlenbeck, K. (2000). «Geometry of solitons». Notices of the AMS 47 (1): 17-25. 
• Touma, J. R.; Tremaine, S.; Kazandjian, M. V. (2009). «Gauss's method for secular dynamics, softened». Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 394 (2): 1085-1108. Bibcode:2009MNRAS.394.1085T. S2CID 14531003. arXiv:0811.2812. doi:10.1111/j.1365-2966.2009.14409.x. 
• Volk, O. (1976). «Miscellanea from the history of celestial mechanics». Celestial Mechanics 14 (3): 365-382. Bibcode:1976CeMec..14..365V. S2CID 122955645. doi:10.1007/bf01228523. 
• Walter, Scott A. (1999a). Minkowski, mathematicians, and the mathematical theory of relativity. En H. Goenner; J. Renn; J. Ritter et al., eds. «The Expanding Worlds of General Relativity». Einstein Studies 7 (Boston: Birkhäuser). pp. 45-86. ISBN 978-0-8176-4060-6. 
• Walter, Scott A. (1999b). «The non-Euclidean style of Minkowskian relativity». En J. Gray, ed. The Symbolic Universe: Geometry and Physics. Oxford: Oxford University Press. pp. 91-127. 
• Walter, Scott A. (2018). «Figures of Light in the Early History of Relativity (1905-1914)». En Rowe D.; Sauer T.; Walter S., eds. Beyond Einstein. Einstein Studies 14. New York: Birkhäuser. pp. 3-50. ISBN 978-1-4939-7708-6. S2CID 31840179. doi:10.1007/978-1-4939-7708-6_1. 

Enlaces externos

• Mathpages: 1.4 La Relatividad de la Luz

• Datos: Q176851