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Usuario:Misifu17

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Definición 1. Conjunto. Colección de objetos bien definidos.

Definición 2. Elementos. Son los objetos que pertenecen a un conjunto.

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas. Si un elemento pertenece a un conjunto , lo representamos matemáticamente como , y si un elemento no pertenece a un conjunto , lo expresamos como .

Un conjunto se puede especificar ya sea por extensión (o enumeración) o por descripción.

Definición 3. Especificación por extensión o enumeración. Cuando un conjunto es finito y consta de los elementos , entonces se puede expresar por la enumeración de todos sus elementos separados por comas y encerrados entre llaves: .

Definición 4. Especificación por descripción. Si es una propiedad y un objeto, entonces denota el conjunto de objetos que poseen la propiedad (los elementos de ), donde los símbolos ó se leen como "tal que". Otra forma de denotar los elementos infinitos de un conjunto es expresando explícitamente sus primeros elementos y luego poner puntos suspensivos, siendo que queda entendida de manera implícita la sucesión infinita.

Ejemplos:

  1. El conjunto de todas las vocales minúsculas del alfabeto español se puede especificar por extensión como: . Y por descripción como:
  2. El conjunto de todos los animales de Villa Fantasía se puede determinar por enumeración así: .
  3. El conjunto de todos los números naturales se puede representar por descripción como: , donde el símbolo se utiliza exclusivamente para denotar dicho conjunto.
  4. El conjunto de todos los números pares se puede expresar por descripción como:
  5. El conjunto de los números impares: .

Definición 5. Igualdad de conjuntos. Dos conjuntos y son iguales solo si poseen exactamente los mismos elementos, i.e. son el mismo conjunto, lo que implica que y que . Lo anterior se representa como y se leé: "A es igual a B".

Definición 6. Conjuntos finitos e infinitos. Un conjunto es finito cuando consta de elementos diferentes, siendo un número natural o el cero: . En caso contrario se dice que dicho conjunto es infinito.

Definición 7. Subconjuntos y superconjuntos: Se dice que un conjunto es subconjunto de un conjunto si todo elemento de pertenece a , o en notación matemática: y se leé (A es subconjunto de B ó A está contenido en B).

Proposición 1. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo:

Demostración:

Aplicaremos las leyes de la lógica-matemática como reglas lógicas de inferencia. Por lo tanto:

  1. (principio lógico de identidad)
  2. , donde hemos aplicado la definición 7 a 1.

Proposición 2. Definición equivalente de igualdad de conjuntos. Una vez definidos los subconjuntos podemos establecer una definición equivalente para la igualdad de conjuntos como solo si y .

Demostración: Como la proposición implica una bicondicional (), tenemos que demostrar primero en un sentido y después en el otro, es decir, primero demostraremos que

(se leé: "A es subconjunto de B ó A está contenido en B") si y solo si para todo se tiene que . Y en ese caso se dice que es superconjunto de , ó (se leé: B es superconjunto de A"), donde los símbolos y son los símbolos de subconjunto y superconjunto respectivamente. y luego deberemos demostrar que .

Primera parte: Hipótesis: . Por demostrar:

Demostración:

  1. Como , tenemos debido a la proposición 1 que y

Segunda parte: Hipótesis: . Por demostrar:

Demostración:

  1. Como (por hipótesis), tenemos que (debido a la definición 7).
  2. De igual forma, como , entonces .
  3. Por lo tanto, de 1. y 2. debido a la definición 5. vemos que .