Reducción de orden

En matemáticas, la reducción de orden es una técnica utilizada para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Se utiliza cuando la primera de dos soluciones ($y_{1}$) es conocida y se busca la segunda ($y_{2}$).

Uso

Dada una ecuación diferencial

$y''+p(t)y'+q(t)y=0\,$

y una sola solución ($y_{1}(t)$), y sea la segunda solución definida por

$y_{2}=v(t)y_{1}(t)\,$

donde $v(t)$ es una función arbitraria. Así,

$y_{2}'=v'(t)y_{1}(t)+v(t)y_{1}'(t)\,$

y

$y_{2}''=v''(t)y_{1}(t)+2v'(t)y_{1}'(t)+v(t)y_{1}''(t).\,$

Si se sustituyen por $y$, $y'$, y $y''$ a la ecuación diferencial, entonces

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'+(y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t))\,v=0.$

Como $y_{1}(t)$ es solución de la ecuación diferencial original, $y_{1}''(t)+p(t)y_{1}'(t)+q(t)y_{1}(t)=0$, se puede reducir a

$y_{1}(t)\,v''+(2y_{1}'(t)+p(t)y_{1}(t))\,v'=0$

que es una ecuación diferencial de primer orden por $v'(t)$. Dividiendo por $y_{1}(t)$, se obtiene

$v''+\left({\frac {2y_{1}'(t)}{y_{1}(t)}}+p(t)\right)\,v'=0$

y $v'(t)$ se puede encontrar utilizado el método general:

$v'(t)=C_{1}{\frac {1}{y_{1}^{2}(t)}}e^{-\int p(t)dt}$

Una vez se ha encontrado $v'(t)$, se integra y se sustituye a la ecuación original por $y_{2}$:

$y_{2}=v(t)y_{1}(t).\,$

Referencias

• (en inglés) W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th edition), John Wiley & Sons, Inc., 2005. ISBN 0-471-43338-1.
• Weisstein, Eric W. «Second-Order Ordinary Differential Equation Second Solution». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q1430365