Anexo:Pendientes y deformaciones en vigas

En este artículo se muestran las fórmulas que se aplican para calcular pendientes y deformaciones en vigas, o sea la flecha máxima y el giro en el apoyo para algunos casos particulares de la curva elástica que se produce en vigas sometidas a cargas.

Vigas con soportes simples (biapoyadas)

En las siguientes fórmulas E designa al módulo de Young del material en que está construida la viga, e I al segundo momento de área de la sección transversal de la misma:

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Viga con carga concentrada P a media longitud	$\theta\ _1 = -\theta\ _2 = -\frac {-PL^2} {16EI}$	$y_{\max} = \frac{-PL^3}{48EI}$ para $x= \frac{L}{2}$	$y = -\frac{PxL^2}{16EI} \left( 1 - \frac{4}{3}\frac{x^2}{L^2} \right) \quad x<\frac{L}{2}$
Viga con carga concentrada en cualquier longitud	$\theta\ _{1} = -\frac {Pab \left ( L + b \right )} {6EIL}$	$y_{\max} = -\frac{P}{9EI}\frac{b}{\sqrt{3}L}(L^2-b^2)^\frac{3}{2}$ para $x= \sqrt{\frac{L^2-b^2}{3}}$	$y = -\frac{PLbx}{6EI} \left (1-\frac{b^2+x^2}{L^2}\right) \quad x<a$
Viga con carga distribuida constante sobre toda su longitud	$\theta_{\max} = -\frac {qL^3}{24EI}$	$y_{\max} = -\frac {-5wL^4}{384EI}$	$y(x) = -\frac{qx}{24EI}\left(x^3 - 2Lx^2 + L^3\right )$
Viga con momento aplicado al inicio	$\theta\ _{1} = -\frac{M_0L}{3EI}$ $\theta_{2} = \frac{M_0L}{6EI}$	$y_{\max} = \frac{M_0L^2}{9\sqrt{3}EI}$ para $x= L\left(1-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$	$y = -\frac{M_0L}{6EI}(L-x) \left( 1- \frac{(L-x)^2}{L^2} \right)$

Vigas en voladizo (ménsulas empotradas)

Tipo de carga	Pendiente	Deformación	Curva elástica
Ménsula con carga concentrada al extremo	$\theta\ _{\max} = \frac {-PL^2} {2EI}$	$y_{\max} = \frac {-PL^3} {3EI}$	$y = \frac {-Px^2} {6EI} \left ( 3L - x \right )$
Ménsula con carga concentrada en un punto intermedio (a una distancia $a$ del extremo empotrado)	$\theta\ _{\max} = \frac {-Pa^2} {2EI}$	$y_{\max} = -Pa^2 \frac {3L-a} {6EI}$	cuando $x<a$: $y = \frac {-Px^2} {6EI} \left ( 3a -x) \right )$ cuando $x>a$: $y = \frac {-Pa^2} {6EI} \left ( 3x-a) \right )$
Ménsula con carga distribuida constante sobre toda su longitud	$\theta\ _{\max} = \frac {-wL^3} {6EI}$	$y_{\max} = \frac {-wL^4} {8EI}$	$y = \frac {-wx^2} {24EI} \left ( x^2 - 4Lx + 6L^2 \right )$
Ménsula con carga distribuida constante sobre parte de su longitud	$\theta\ _{\max} = \frac {-w} {6EI} \left(a^3-15c^3+3ac(a+c)\right)$ $y_{\max} = \frac {-wca^2} {3EI} \left( L (3+\frac{c^2}{a^2})-a(1+\frac{c^2}{a^2})\right)$
Ménsula con un momento puntal M0 en el extremo	$\theta\ _{\max} = -\frac {M_0 L}{EI}$	$y_{\max} = -\frac {M_0 L^2}{2EI}$	$y(x) = -\frac {-M_0 x^2}{2EI}$
Ménsula con un momento puntal M0 en el vano	$\theta\ _{\max} = -\frac{M_0 a}{EI}$	$y_{\max} = -\frac{M_0 a^2}{2EI}-\frac {M_0 ab}{EI}$	$y(x) = \begin{cases} -\cfrac {-M_0 x^2}{2EI} & x\le a\\ -\cfrac{M_0 a^2}{2EI}-\cfrac {M_0 ax}{EI} & a\le x \le L \end{cases}$

Vigas biempotradas

Las vigas biempotradas son casos de vigas hiperestáticas que requieren la determinación de los momentos de empotramiento, antes de poder calcular directamente las pendientes y los desplazamientos sobre las mismas.

Tipo de carga	Reacciones	Pendiente, desplazamiento máximo y curva elástica
Biempotrada con carga uniforme en una porción asimétricamente distribuida	$R_A = +\frac{qL}{2} R_B = +\frac{qL}{2}$ $M_A = +\frac{qL^2}{12},\ M_B = -\frac{qL^2}{12}$ $M_f(x) = -\frac{qL^2}{12}+\frac{qx(L-x)}{2}$	$\theta\ _{\max} = \frac{\sqrt{3}qL^3}{216}$ $y_{\max} = -\frac{qL^4}{384EI}$ $y = -\frac{qx^2}{24EI}(L-x)^2$
Biempotrada con carga uniforme en una porción asimétricamente distribuida		$\theta\ _{\max} =$ $y_{\max} =$ $y =$

Véase también

• Curva elástica
• Fibra neutra

Enlaces externos

• Prontuario de solicitaciones y deformaciones en vigas