Función de Rosenbrock

La trama de la Rosenbrock en función de dos variables. Aquí $a=1,b=100$y el valor mínimo de cero es en $(1,1)$ .

La función de Rosenbrock es una función no convexa utilizada como problema de prueba del rendimiento para algoritmos de optimización que se introdujo por Howard H. Rosenbrock en 1960.​ Es también conocida como Rosenbrock la función del valle o la función del plátano.

El mínimo global está dentro de un valle plano, largo, estrecho y de forma parabólica. Encontrar el valle es trivial. Sin embargo, converger al mínimo global es difícil.

La función está definida por:

$f(x,y)=(a-x)^{2}+b(y-x^{2})^{2}$

Tiene un mínimo global en $(x,y)=(a,a^{2})$, donde $f(x,y)=0$. Generalmente $a=1$ y $b=100$. Sólo en el caso trivial de $a=0$ la función es simétrica y el mínimo está en el origen.

Generalizaciones multidimensionales

Se pueden encontrar dos variantes. Una es la suma de $N/2$ de los problemas 2D de Rosenbrock :

$f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=\sum _{i=1}^{N/2}\left[100(x_{2i-1}^{2}-x_{2i})^{2}+(x_{2i-1}-1)^{2}\right].$​

Esta variante sólo se define para pares $N$ y tiene soluciones predeciblemente simples.

Una variante más implicada es:

$f(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{N-1}100(x_{i+1}-x_{i}^{2})^{2}+(1-x_{i})^{2}\quad {\mbox{donde}}\quad \mathbf {x} =[x_{1},\ldots ,x_{N}]\in \mathbb {R} ^{N}.$​

Se ha demostrado que esta variante tiene exactamente un mínimo para $N=3$ (at $(1,1,1)$) y exactamente dos mínimos para $4\leq N\leq 7$— mínimo global de todos y un mínimo local cerca de $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{N})=(-1,1,\dots ,1)$. Este resultado se obtiene ajustando el gradiente de la función igual a cero, notando que la ecuación resultante es una función racional de $x$. Para los pequeños $N$ los polinomios se pueden determinar exactamente y el teorema de Sturm se puede utilizar para determinar el número de raíces verdaderas, mientras que las raíces pueden ser limitadas en la región de $|x_{i}|<2.4$.​ Para mayor $N$ este método se descompone debido al tamaño de los coeficientes implicados.

Bibliografía

• Rosenbrock, H. H. (1960), «An automatic method for finding the greatest or least value of a function», The Computer Journal 3: 175-184, ISSN 0010-4620, doi:10.1093/comjnl/3.3.175 .

• Datos: Q2981936
• Multimedia: Rosenbrock function / Q2981936