Análisis de mallas

Véase también: Análisis de nodos

Figura 1: Circuito plano con mallas esenciales resaltadas 1, 2, y 3. R1, R2, R3, 1/sc, y Ls representan la impedancia de las resistencias, capacitor, e inductor . Vs y Is son valores de la fuente de tensión y de la fuente de corriente, respectivamente.

El análisis de malla (algunas veces llamada como análisis de lazo, o método de corrientes de malla), es un método usado para resolver tensiones y corrientes de cualquier elemento de un circuito plano. Entiéndase circuito plano como un circuito que puede ser dibujado en un plano sin necesidad de cruzar un cable con otros. Análisis de malla usa la ley de tensiones de Kirchhoff para resolver estos circuitos planos. La ventaja de usar análisis de malla es que crea una aproximación sistematica para resolver circuitos planos y reduce el número de ecuaciones necesarias para resolver las tensiones y corrientes de un circuito.

También conocido como método de mallas su aplicación práctica se realiza de la siguiente manera; se asigna a cada una de las malla del circuito una corriente imaginaria que circula en el sentido que nosotros elijamos; para facilitar en todas las mallas el mismo sentido. Como la ley de mallas de las Leyes de Kirchoff nos dice que la caída de tensión va a ser cero en una malla cerrada, eso quiere decir que la caída de tensión que se produce en los elementos de nuestra malla es igual a la tensión que suministran las fuentes en nuestra malla. De cada malla del circuito, por tanto, se puede obtener una ecuación si ponemos la caída de tensión en los elementos de la malla en función de la intensidad que circula por cada elemento. En un circuito de varias mallas resolveríamos un sistema lineal de ecuaciones diferenciales y obtendríamos las diferentes corrientes de malla. Normalmente se usa la Transformada de Laplace.

Corrientes de malla y mallas esenciales

Figura 2: Circuito con corrientes de malla marcadas como i1, i2, y i3. Las flechas muestran la direccion de la corriente de malla.

El análisis de malla funciona asignando arbitrariamente la corriente de una malla en una malla esencial. Una malla esencial es un lazo que no contiene a otro lazo. Cuando miramos un esquema de circuito, las mallas se ven como una ventana. En la figura uno las mallas esenciales son uno, dos y tres. Una vez halladas las mallas esenciales, las corrientes de malla deben ser especificadas.

Una corriente de malla es una corriente que pasa alrededor de la malla esencial. La corriente de malla podría no tener un significado físico pero es muy usado para crear el sistema de ecuaciones del análisis de malla. Cuando se asignan corrientes de malla es importante tener todas las corrientes de malla girando en la misma dirección. Esto ayudará a prevenir errores al escribir las ecuaciones. La convención es tenerlas todas girando a la manecillas del reloj. En la figura 2 se muestra el mismo circuito antes pero con las corrientes de malla marcadas.

La razón para usar corrientes de malla en vez de usar LCK y LVK para resolver un problema es que las corrientes de malla pueden simplificar cualquier corriente planteada con LCK y LVK. El análisis de malla asegura el menor número de ecuaciones, simplicando así el problema.

Planteando las ecuaciones

Figure 3: Circuito simple usando análisis de malla

Despues de nombrar las corrientes de malla, solamente se necesita escribir una ecuación por malla para resolver todas las corrientes del circuito. Estas ecuaciones son la suma de tensión en un lazo con las corrientes de malla. Para los elementos que no son fuentes de energía, la tensión sera la impedancia del componente por la corriente de malla presente menos la corriente de malla vecina.

Una rama que pertenece a dos mallas es recorrida por una corriente resultado de la resta de las corrientes de malla a las que pertenezca. Es importante tener esto en cuenta a la hora de expresar la caída de tensión en la rama en función de la intensidad que circula por ella, por ejemplo, en una resistencia entre dos mallas la caída sería: $V_{R}=R(i_{1}-i_{2})$ siendo $i_{1}$ la intensidad de la malla de la que estamos escribiendo su ecuación e $i_{2}$ la malla contigua; es decir, tomando como positiva siempre la corriente de la malla que estamos describiendo y negativas las demás. Es importante el criterio de signos.

Una fuente de intensidad lo que nos da es directamente la intensidad que circula por la rama del circuito en la que se encuentra, así que, depende de donde se encuentre nos dará directamente una corriente de malla o la diferencia entre dos intensidades si se encuentra en una rama del circuito que pertenece a dos mallas. Es importante el criterio de signos.

Si hay una fuente de tensión en la corriente de malla, la tensión en la fuente es sumada o sustraída dependiendo si es una caida o subida de tensión en la dirección de la corriente de malla. Para una fuente de corriente que no este contenida en dos mallas, la corriente de malla tomará el valor positivo o negativo de la fuente de corriente dependiendo si la corriente de malla está en la misma direccióno en dirección opuesta a la fuente de corriente. A continuación está el circuito de más arriba con las ecuaciones planteadas para resolver todas las corrientes en el circuito. así:

${\begin{cases}{\text{Malla 1: }}i_{1}=i_{s}\\{\text{Malla 2: }}-V_{s}+R_{1}(i_{2}-i_{1})+{\frac {1}{sc}}(i_{2}-i_{3})=0\\{\text{Malla 3: }}{\frac {1}{sc}}(i_{3}-i_{2})+R_{2}(i_{3}-i_{1})+Lsi_{3}=0\\\end{cases}}\,$

Una vez halladas las ecuaciones, el sistema puede resolverse usando alguna técnica que resuelva sistema de ecuaciones lineales.

Observación: En circuitos resistivos, solo con resistencias, si una corriente de malla, al resolver el sistema, tiene modulo negativo es que en realidad circula en sentido contrario al que nosotros hemos supuesto. Además en las ramas que pertenecen a dos mallas en circuitos resistivos, la corriente irá en el mismo sentido de la de la malla con intensidad de mayor módulo, y tendrá por módulo la diferencia de ambas. Es importante el criterio de signos. En circuitos con condensadores, bobinas o de corriente alterna, será importante el criterio de signos ya que a la hora de restar intensidades, como trabajaremos con números complejos, a través de la fórmula de Euler, tendremos cambios de modulo y de fase en la intensidad resultante, no nos basta con fijar la de mayor módulo como positiva; tenemos que acudir al patrón de corriente positiva en sentido horario (o anti horario, a nuestra elección).

Casos especiales

Hay dos casos especiales en la corriente de malla: supermalla y fuentes dependientes.

Supermalla

Figura 4: Circuito con una supermalla. Supermalla ocurre porque la fuente de corriente está en medio de las mallas esenciales.

Existe una supermalla cuando una fuente de corriente está entre dos mallas esenciales. Para tratar la supermalla, se trata el circuito como si la fuente de corriente no estuviera allí. Esto produce una ecuación que incorpora las dos corrientes de malla. Una vez que se plantee esta ecuación, se necesita una ecuación que relacione las dos corrientes de malla con la fuente de corriente, esto será una ecuación donde la fuente de corriente sea igual a una de las corrientes de malla menos la otra. A continuación hay un ejemplo de supermalla.

${\begin{cases}{\text{Malla 1, 2: }}-V_{s}+R_{1}i_{1}+R_{2}i_{2}=0\\{\text{Fuente de corriente: }}i_{s}=i_{2}-i_{1}\end{cases}}\,$

Fuentes dependientes

Figura 5: Circuito con fuente dependiente. i_x es la corriente que la fuente dependiente de tensión depende.

Una fuente dependiente es una fuente de corriente o de tensión que depende de la tensión o de la corriente de otro elemento en el circuito.

Cuando una fuente dependiente está en una malla esencial, la fuente dependiente debería ser tratada como una fuente normal. Después de que se halla planteado la ecuación de malla, se necesita una ecuación para la fuente dependiente. Esta ecuación es llamada generalmente una ecuación de restricción. Esta es una ecuación que relaciona la variable de la fuente dependiente con la corriente o tensión que la fuente depende del circuito. A continuación hay un ejemplo simple de una fuente dependiente.

${\begin{cases}{\text{Malla 1: }}-V_{s}+R_{1}i_{1}+R_{3}(i_{1}-i_{2})=0\\{\text{Malla 2: }}R_{2}i_{2}+3i_{x}+R_{3}(i_{2}-i_{1})=0\\{\text{Variable dependiente: }}i_{x}=i_{1}-i_{2}\end{cases}}\,$

Enlaces Externos

• Análisis de mallas Universidad Nacional