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Revisión del 22:06 8 mar 2010

El cálculo de variaciones es un problema matemático consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de funcionales continuos definidos sobre algún espacio funcional. Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.

Formulación general

Uno de los problemas típicos en cálculo diferencial es el de encontrar el valor de $x$ para el cual la función $f(x)$ alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una función $f(x)$ para la cual un funcional $I[f]$ alcance un valor extremo. El funcional $I[f]$ está compuesto por una integral que depende de $x$ , de la función $f(x)$ y algunas de sus derivadas.

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x,p(r),c'(x),...)\,dx$

Donde la función $f(x)$ pertenece a algún espacio de funciones (espacio de Banach, espacio de Hilbert), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.

Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a $x$ ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para $f$ .

Problemas históricos

Problema Isoperimétrico

¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.

Ejemplo: Sean dos puntos $A=(a,0),B=(b,0)$ en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir $AB=l$ . El problema de hallar una curva que maximize el área entre ella y el eje x sería:

Hallar una función $f(x)$ de modo que,

$I[f]=\int _{a}^{b}f(x)dx=$ max

con las restricciones

$G[f]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=l$ (longitud de arco)

$f(a)=f(b)=0$

Braquistócrona

El problema de la curva braquistócrona se remonta a J. Bernoulli (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto $P=(x_{0},y_{0})$ al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de $P$ al origen. Usando principios de mecánica clásica el problema puede formularse como,

$T[f]=\int _{0}^{x_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y_{0}-y)}}}\ dx=$ min

donde g es la gravedad y las restricciones son, $f(0)=0$ , $f(x_{0})=y_{0}$ . Hay que notar que en $x=x_{0}$ existe una singularidad.

Véase también

Ecuaciones de Euler-Lagrange.

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+El '''cálculo de variaciones''' es un [[problema matemático]] consistente en buscar máximos y mínimos (o más generalmente extremos relativos) de [[funcional]]es continuos definidos sobre algún espacio funcional.
-hola
+Constituyen una generalización del cálculo elemental de máximos y mínimos de funciones reales de una variable.
+== Formulación general ==
+Uno de los problemas típicos en [[cálculo diferencial]] es el de encontrar el valor de <math>x</math> para el cual la función <math> f(x) </math> alcanza un valor extremo (máximo o mínimo). En el cálculo de variaciones el problema es encontrar una [[función (matemáticas)|función]] <math> f(x) </math> para la cual un [[funcional]] <math> I[f] </math> alcance un valor extremo. El funcional <math>I[f]</math> está compuesto por una integral que depende de <math>x</math>, de la función <math>f(x)</math> y algunas de sus derivadas.
+<math>I[f]=\int_a^b f(x,p(r),c'(x),...)\,dx</math>
+Donde la función <math>f(x)</math> pertenece a algún espacio de funciones ([[espacio de Banach]], [[espacio de Hilbert]]), y tanto ella como sus derivadas pueden tener restricciones.
+Esta fórmula integral puede ser más complicada permitiendo a <math>x</math> ser un vector, y por lo tanto incluyendo derivadas parciales para <math>f</math>.
+== Problemas históricos ==
+=== Problema Isoperimétrico ===
+¿Cuál es el área máxima que puede rodearse con una curva de longitud dada?.
+Ejemplo:
+Sean dos puntos <math>A=(a,0), B=(b,0)</math> en el eje x donde la distancia entre ellos está dada. Es decir <math>AB = l</math>. El problema de hallar una curva que maximize el área entre ella y el eje x sería:
+Hallar una función <math>f(x)</math> de modo que,
+<math>I[f]=\int_a^b f(x) dx = </math> max
+con las restricciones
+<math>G[f] = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx = l </math> (longitud de arco)
+<math>f(a) = f(b) = 0 </math>
+=== Braquistócrona ===
+El problema de la curva [[braquistócrona]] se remonta a [[Jakob Bernoulli|J. Bernoulli]] (1696). Se refiere a encontrar una curva en el plano cartesiano que vaya del punto <math>P = (x_0,y_0) </math> al origen de modo que un punto material que se desliza sin fricción sobre ella tarda el menor tiempo posible en ir de <math>P</math> al origen. Usando principios de [[mecánica clásica]] el problema puede formularse como,
+<math>T[f]=\int_{0}^{x_0}\frac {\sqrt{1+(f'(x))^2}}
+{\sqrt{2g(y_0-y)}}\ dx = </math> min
+donde ''g'' es la gravedad y las restricciones son, <math>f(0)=0</math>, <math>f(x_0)=y_0</math>. Hay que notar que en <math>x=x_0</math> existe una [[singularidad]].
+== Véase también ==
+*[[Ecuaciones de Euler-Lagrange]].
+{{ORDENAR:Calculo de variaciones}}
+[[Categoría:Cálculo]]
+[[Categoría:Cálculo de variaciones| ]]
+[[ar:حساب التغيرات]]
+[[cs:Variační počet]]
+[[de:Variationsrechnung]]
+[[en:Calculus of variations]]
+[[eo:Variada kalkulo]]
+[[fa:حسابان تغییرات]]
+[[fr:Calcul des variations]]
+[[he:חשבון וריאציות]]
+[[it:Calcolo delle variazioni]]
+[[ja:変分法]]
+[[ko:변분법]]
+[[mt:Kalkulu tal-varjazzjonijiet]]
+[[nl:Variatierekening]]
+[[pl:Rachunek wariacyjny]]
+[[pms:Càlcol dle variassion]]
+[[pt:Cálculo de variações]]
+[[ru:Вариационное исчисление]]
+[[sk:Variačný počet]]
+[[sl:Variacijski račun]]
+[[sv:Variationskalkyl]]
+[[uk:Варіаційне числення]]
+[[zh:变分法]]