Problema de las doce monedas

En el "problema de las doce monedas" se propone identificar la moneda falsa, entre un grupo de doce monedas, empleando 3 pesadas de balanza.

La moneda falsa tiene un peso distinto de las otras, y hay que averiguar si esta moneda pesa más o menos que las otras.

En su versión de 12 monedas habría aparecido en 1945, sin que se sepa su procedencia.

El problema admite una generalización inmediata aumentando el número de monedas y de pesadas: ¿Cuál es el máximo de monedas para "n" pesadas?

Ofrecemos aquí dos soluciones del problema.

1ª Solución

La primera solución, de fácil generalización para más pesadas, se explica a continuación:

La 1ª pesada la realizamos así:

  Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1                       5                  9
     2,3,4                   6,7,8             10,11,12

En la 2ª pesada, rotamos los grupos de tres monedas:

  Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1                       5                  9
    10,11,12                 2,3,4              6,7,8              

• Si la inclinación de la balanza cambia, esto identifica el grupo de tres que tiene la moneda falsa.

• Si la inclinación de la balanza no cambia, la moneda falsa está entre las tres que no hemos rotado: 1, 5, 9.

Y nos queda la 3ª pesada para identificar entre 3 monedas cual es la falsa: sólo tenemos que pesar dos de ellas, pues como ya tenemos información de anteriores pesadas podemos así identificarla.

Generalización

Veamos primero el método A: procedimiento cuando conocemos que la moneda pesa más (si pesa menos será análogo).

Veamos un ejemplo con 9 monedas: Formamos tres grupos de tres monedas cada uno y se pesa el grupo 1 frente al grupo 2.

• Si existe equilibrio la moneda falsa está en el grupo 3.
• Si no existe equilibrio la inclinación de la balanza indica cuál de los grupos es el que tiene la moneda falsa (pues conocemos si pesa más o menos).

De la pesada anterior quedan tres monedas que contiene la falsa. Se pesa la moneda A contra la moneda B, e identificamos fácilmente cual es la falsa.

La clave de la generalización reside en el método A, y consiste en identificar 
el grupo de 3^n monedas con n pesadas: Formamos 3 grups, pesamos 2 de ellos e 
identificamos el grupo problemático. Y repetimos el proceso hasta obtener una 
moneda.

Veamos ahora el caso general:

El problema admite una generalización a 4 pesadas añadiendo una nueva fila de 9 monedes en cada uno de los 3 grupos: 13 monedas en cada grupo... Rotaremos los grupos de 9 monedas y razonamos igual que antes: si la posición cambia identificamos el grupo de 9 con la moneda falsa y le aplicamos el método A. Si la posición no cambia, quitamos los grupos de 9 y nuestras condiciones son ahora las del problema de 12 monedas con 3 pesadas.

Con 5 pesadas añadiremos otra fila más de 27 monedas en cada uno de los 3 grupos: 40 monedas en cada grupo. Y procedemos análogamente como en el caso anterior.

Como estamos agregando potencias de 3 en cada paso, obtendremos la suma de una progresión geométrica:

3 monedas en 2 pesadas
12 monedas en 3 pesadas: 3 + 3^2 = 12
39 monedas en 4 pesadas: 12 + 3^3 = 39
120 monedas en 5 pesadas: 39 + 3^4 = 120
363 monedas en 6 pesadas: 120 + 3^5 = 363
120 monedas en 7 pesadas: 363 + 3^6 = 1092

(3^n-3)/2  monedas, con n pesadas.

¿Cuál es el máximo de monedas para "n" pesadas?

Ofrecemos ahora una demostración intuitiva, que sólo utiliza el método A descrito al principio:

Para (n+1) pesadas analicemos el máximo de monedas, entre balanza y mesa:

Un máximo en la balanza es 3^n monedas, pues después de la 1ª inclinación de balanza nos quedan n pesadas y el método A asegura que 3^n es el máximo de monedas cuando conocemos su "inclinación". Pero como tiene que ser par (dos platillos), en la balanza habrá hasta 3^n-1 como máximo.

Veamos el máximo de monedas en la mesa: si la moneda falsa está en la mesa entonces hay equilibrio en la 1ª pesada y dispondremos de monedas "buenas": Escogemos 3^(n-1) monedas de la mesa y las pesamos con otras tantas "buenas", si está ahí la moneda falsa el método A asegura encontrarla con (n-1) pesadas que nos quedan; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^(n-2) monedas, con (n-2) pesadas que nos quedan;...; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^2 monedas con otras 9 "buenas"; si hay equilibrio repetimos el proceso con 3^1 monedas con otras 3 "buenas"; finalmente, si hay equilibrio pesamos la última moneda con 1 "buena" para saber si pesa más o menos, con la última pesada que nos queda. Sumando todas las monedas de la mesa que hemos pesado, tenemos una progresión geómetrica de razón 3 y primer término A(1)=1:

S (n) = 1+3+9+...+ 3^(n-1) = A(1)*(r^n-1)/(r-1) = (3^n-1)/2

que, curiosamente, coincide con la mitad del máximo de la balanza, es decir como cada brazo de balanza.

Finalmente, sumamos el máximo obtenido en la mesa y en la balanza, y obtenemos otra suma de progresión geómetrica:

1+3+9+...+3^(n-1) + 3^n-1 = 3+9+...+ 3^(n-1) + 3^n

que coincide con la obtenida en el procedimiento general. Luego ese es el máximo para (n+1) pesadas.

Para una demostración más precisa del máximo necesitamos otro
planteamiento, la 2ª solución.

2ª Solución

Primero veamos un método de separación en grupos, parecido al método A descrito antes, que consigue aislar la moneda falsa en grupos de 3, 9, 27,.., 3^n para monedas "orientadas" (procedentes de la 1ª inclinación de balanza):

Para 3 monedas "orientadas", la solución es pesar 2 de ellas. 

Si tenemos 9 monedas "orientadas", pondremos en cada brazo dos "monedas pesadas" (procedentes del brazo inclinado en la 1ª pesada) que denotamos (2+), y una "moneda ligera" (procedente del brazo opuesto) que denotamos (1-):

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa
    (2+), (1-)               (2+), (1-)           monedas restantes

Según se incline la balanza identificamos un grupo de 3 donde está la moneda falsa.

Análogamente, si tenemos 27 monedas "orientadas" identificamos un grupo de 9 monedas:

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa
    (6+), (3-)               (6+), (3-)          monedas restantes

Y en general, formamos 3 grupos de 3^(n+1) monedas:

 brazo izquierdo             brazo derecho          mesa

(2*3^n+), (3^n-)           (2*3^n+), (3^n-)       monedas restantes

En general, para 3^n monedas "orientadas" necesitamos n pesadas: si 3 es el máximo para 1 pesada, no podemos exceder 3 grupos de 3 monedas en 2 pesadas; ni 3 grupos de 9 monedas en 3 pesadas...etc; por tanto:

El máximo de monedas "orientadas" con n pesadas es 3^n.

Veamos ahora el procedimiento general:

Ahora sólo queda ver cómo configurar la primera pesada.

Sea la sucesión X(n)= máximo de monedas para n pesadas.

Calculemos X(n+1): máximo de monedas para (n+1) pesadas:

Podremos poner en los dos brazos hasta 3^n monedas, que es el máximo de monedas "orientadas" con n pesadas. Y como la balanza exige un número par, restamos 1:

Balanza = 3^n - 1

Y en la mesa pondremos X(n)+1: sumamos 1 por no tener la exigencia de pesar un número par, pues ahora tenemos monedas extra procedentes del equilibrio de la balanza:

Mesa = X(n) + 1

Calculamos el total entre los brazos y la mesa:

Total = Balanza + Mesa

X(n+1) = 3^n-1 + X(n)+1 = 3^n + X(n)

Por tanto, X(n) tiene estructura de suma de una progresión geométrica de razón r= 3.

El primer término de la sucesión X(n) es:

X(2)= balanza + mesa = 2+1 = 3

pues en la mesa es evidente que sólo podemos poner 1 moneda, y en la balanza ya hemos argumentado que ha de ser igual a 3^1-1=2.

X(3) = 3^2 + X(2) = 12;  X(4) = 3^3 + X(3) = 39;  X(5) = 3^4 + X(4) = 120;........  

Así pues, X(n+1) = 3+9+27+...+3^n = 3*(3^n-1)/2
 
X(n) = (3^n-3)/2.  Como queríamos demostrar

Además, por ser X(n) suma de progresión geométrica se cumple que cada brazo y la mesa tienen las mismas monedas, pues:

        mesa =  balanza / 2 

       X(n)+1 = (3^n-1)/2

Veamos un esquema de los primeros términos, así como la configuración de la primera pesada para cada caso.

                            PRIMERA  PESADA

              brazo izquierdo        brazo derecho      mesa

2 pesadas:   1 moneda                1 moneda           1 moneda 

3 pesadas:   4 monedas               4 monedas          4 monedas = X(2) + 1 

4 pesadas:  13 monedas               13 monedas         13 monedas = X(3) + 1

5 pesadas:  40 monedas               40 monedas         40 monedas = X(4) + 1

6 pesadas: 121 monedas              121 monedas        121 monedas = X(5) + 1

7 pesadas: 364 monedas              364 monedas        364 monedas = X(6) + 1

Veamos el ejemplo de 12 monedas:

   Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
       1,2,3,4              5,6,7,8             9,10,11,12

a) Si se equilibra, atacamos las 4 bolas restantes formando un grupo de 3 monedas, pues ahora sí podemos pesar un número impar en los dos brazos, al tener monedas buenas:

   Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
      9,10                    11,1                12

b) Y si se inclina, tenemos 8=3^2-1 monedas "orientadas" y aplicamos el método de separación descrito:

        Brazo derecho          Brazo izquierdo        Mesa
           1 2 5                   3 4 6              7,8  

Si se equilibra, está en el grupo (7,8), evidentemente.
Si se inclina como la 1ª pesada, está en el grupo (1,2,6). 
Si no, estará en el grupo (3,4,5).