División polinómica

En álgebra, división polinomial es un algoritmo que permite dividir un polinomio por otro polinomio de igual o menor grado.

El algoritmo es una versión generalizada de la técnica aritmética de división. Es fácilmente realizable a mano, porque divide un problema de división que de otra manera sería complejo en problemas más reducidos.

Sean los polinomios f(x) y g(x), donde el grado de f(x) es mayor o igual que el grado de g(x), existen un único par de polinomios q(x) y r(x) tales que

${\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}$

con el grado de r(x) menor que el grado de g(x).

La división sintética permite obtener el cociente q(x) y el resto r(x) dado un dividendo f(x) y un divisor g(x). El problema es expresado como un problema de división no algebraico:

$g(x){\overline {\vert f(x)}}$;

Todos los términos con exponentes menores que el mayor deben ser escritos explícitamente, aún si sus coeficientes son cero.

Ejemplo

Encontrar:

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}$

Se escribe el problema de la siguiente forma (notar que tal como se explicó previamente, se incluye explicitamente el término x, aunque su coeficiente sea cero):

$x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}$

1. Dividir el primer término del dividendo por el término de mayor grado del divisor. Poner el resultado arriba de la línea horizontal (x³ ÷ x = x²).

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\end{matrix}}$

2. Multiplicar el divisor por el resultado obtenido en el paso previo (el primer término del eventual cociente). Escribir el resultado debajo de los primeros dos términos del dividendo (x² * (x-3) = x³ - 3x²).

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;x^{3}-3x^{2}\end{matrix}}$

3. Restar el producto obtenido en el paso previo de los términos correspondientes del dividendo original, y escribir el resultado debajo. Tener cuidado al realizar esta operación de colocar el signo que corresponda. ((x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Luego, "desplazar hacia abajo" el próximo termino del dividendo.

${\begin{matrix}x^{2}\\\qquad \qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\qquad \;\;{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\end{matrix}}$

4. Repetir los tres pasos previos, excepto que esta vez utilizar los dos términos que se acaban de escribir en el dividendo.

${\begin{matrix}\;x^{2}-9x\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\end{matrix}}$

5. Repetir el paso 4. Esta vez, no hay nada para "desplazar hacia abajo".

${\begin{matrix}\qquad \quad \;\,x^{2}\;-9x\quad -27\\\qquad \quad x-3{\overline {\vert x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\\;\;{\underline {\;\;x^{3}-\;\;3x^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9x^{2}+0x\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9x^{2}+27x}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27x-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27x+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}$

El polinomio arriba de la línea horizontal es el cociente, y el número que queda (-123) es el resto.

${\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}$

Este método es una reminiscencia de los métodos de división utilizados en clases elementales de aritmética.

Véase también

• w:en:Polynomial remainder theorem
• Base de Gröbner
• w:en:Greatest common divisior of two polynomials