Extrapolación de Richardson

El método de extrapolación de Richardson fue desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953). Se puede utilizar para mejorar los resultados de un método numérico a partir de una estimación de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: El método de Romberg.

Presentación del principio

Para una función variable en x, la primera derivada está definida por:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Una simple aproximación se tiene por la diferencia hacia adelante, de forma que:

$f_{1}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Ésta aproximación está lejos del valor real, por tanto en órden de hacer un análisis del error, expandimos en forma de serie de Taylor: $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+\cdots$

Subtrayendo f(x) de ambos lados y dividiendo por h, se tiene que:

$f_{1}(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=f'(x)+{\frac {h^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+\cdots =f'(x)+O(h)$

Analogamente se derivan las demás fórmulas de aproximación, deduciendo por ejemplo, con diferencia hacia atrás o cambiando los valores de h; de está forma se obtiene una expresión generalizada llamada extrapolación de richardson, de la siguiente forma:

Sea A, la respuesta exacta a la integral, y A(h) la estimación de A con órden $h^{k_{0}}$. De tal forma que:

$A=\lim _{h\to 0}A(h)$

$A=\underbrace {A(h)} _{O(h^{k_{0}})}+\underbrace {a_{1}h^{k_{1}}+\underbrace {a_{2}h^{k_{2}}+\underbrace {a_{3}h^{k_{3}}+...} _{O(h^{k_{3}})}} _{O(h^{k_{2}})}} _{O(h^{k_{1}})}$

Donde:

$O(h^{k_{n}})$ es un estimador del error, usando la notación de Landau.

$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ~~~y~~~k_{1},k_{2},k_{3},\cdots$ son constantes desconocidas. Tal que $a_{i}\neq 0~~~y~~~k_{1}>k_{2}>k_{3}>\cdots >k_{n}$

Ahora bien: Usando tamaños de espaciamiento h y h/t, podemos aproximar a A como:

$A=A(h)+a_{1}h^{k_{1}}+O(h^{k_{2}})~~~~(1)$

$A=A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}+a_{1}*{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{1}}+O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}$

Multiplicando la última ecuación por $t^{k_{1}}$

$t^{k_{1}}A=t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}+t^{k_{1}}a_{1}*{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{1}}+t^{k_{1}}O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}~~~~(2)$

Sustrayendo (2) y (1), como se vio al inicio:

$(t^{k_{1}}-1)A=t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A(h)+\underbrace {t^{k_{1}}O{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}^{k_{2}}-O(h^{k_{2}})} _{O(h^{k_{2}})}$

Despejando A:

$A={\frac {t^{k_{1}}A{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A(h)}{(t^{k_{1}}-1)}}+O(h^{k_{2}})$

De este modo, se ha obtenido una mejor aproximación de A al sustraer el término más grande en el error, $O(h^{k_{1}})$. De igual manera se pueden remover más términos de error de modo que se obtengan mejores aproximaciones de A. Una relación de recurrencia general puede ser implementada en las aproximaciones al hacer:

$A_{i+1}(h)\approx {\frac {t^{k_{i}}A_{i}{\Big (}{\frac {h}{t}}{\Big )}-A_{i}(h)}{(t^{k_{i}}-1)}}$ siendo $k_{i}$ el órden del error.

con

$A=A_{i+1}(h)+O(h^{k_{i}+1})~~~y~~~A_{1}=A(h)$