Teorema de la función implícita

La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita $x^{2}+y^{2}-1=0\,$. Alrededor del punto A, podremos expresar y como una función $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$. Pero no existirá una función similar en un entorno del punto B.

En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables permite definir a una de ellas como función de las demás.

Por ejemplo, dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y=f(x).

Enunciado

Se consideran el punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ y la ecuación $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)=0$, siendo $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)$ una función de $\,n+1$ variables que satisface las siguientes condiciones:

1. $\,F(P)=0$
2. En un entorno del punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ existen y son continuas las derivadas parciales ${\frac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial F}{\partial z}}$.
3. ${\frac {\partial F}{\partial z}}$ en $P$ es distinto de cero.

Entonces existe en un entorno del punto $\,Q=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ una única función $\,z=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ cuyas derivadas parciales respecto de $\,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ son continuas en un entorno de dicho punto $Q$ y tal que $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=0$.

Existen versiones de este teorema con hipótesis algo más generales.

Véase también

• Teorema de la función inversa