Diferencia entre revisiones de «Teorema de la función implícita»

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Revisión del 23:22 5 nov 2009

En análisis matemático, el teorema de la función implícita establece condiciones bajo las cuales una ecuación de varias variables permite definir a una de ellas como función de las demás.

Por ejemplo, dada la ecuación F(x,y)=0 (lo que se conoce como función implícita), bajo ciertas exigencias sobre la derivada de F podríamos, al menos localmente, despejar y=f(x).

Enunciado

Se consideran el punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ y la ecuación $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)=0$ , siendo $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},z)$ una función de $\,n+1$ variables que satisface las siguientes condiciones:

$\,F(P)=0$
En un entorno del punto $\,P=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b)$ existen y son continuas las derivadas parciales ${\frac {\partial F}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial F}{\partial x_{2}}},\dots ,{\frac {\partial F}{\partial x_{n}}},{\frac {\partial F}{\partial z}}$ .
${\frac {\partial F}{\partial z}}$ en $P$ es distinto de cero.

Entonces existe en un entorno del punto $\,Q=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ una única función $\,z=f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ cuyas derivadas parciales respecto de $\,x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}$ son continuas en un entorno de dicho punto $Q$ y tal que $\,F(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}))=0$ .

Existen versiones de este teorema con hipótesis algo más generales.

Véase también

Teorema de la función inversa

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-[[en:Implicit function]]
-[[he:פונקציה סתומה]]
 [[Imagen:Implicit_circle.png | thumb | La circunferencia unitaria puede representarse por la ecuación implícita <math> x^2 + y^2 -1=0 \,</math>. Alrededor del punto A, podremos expresar ''y''  como una función <math>y(x)=\sqrt{1-x^2}</math>. Pero no existirá una función similar en un entorno del punto B.]]
 En [[análisis matemático]], el '''teorema de la función implícita''' establece condiciones bajo las cuales una [[ecuación]] de varias [[variable]]s permite definir a una de ellas como [[función matemática|función]] de las demás.
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 Entonces existe en un entorno del punto <math>\, Q=(a_1,a_2,\dots,a_n)</math> una única función <math>\, z=f(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> cuyas derivadas parciales respecto de <math>\, x_1,x_2,\dots,x_n</math> son continuas en un entorno de dicho punto <math>Q</math> y tal que <math>\, F(x_1,x_2,\dots,x_n,f(x_1,x_2,\dots,x_n))=0</math>.
-== Demostración: ==
-Para poder derivar una función implícita se usa la [[Regla de la cadena]], en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
-Dada una función <math> F(x,y) \,</math>, implícita, si queremos calcular la derivada de '''y''' respecto de '''x''': <math> \frac{dy}{dx} = f'(x) </math>.
-Si consideramos <math> y = f \left ( x \right ) </math> es una función en términos de la variable independiente '''x''' y <math> G \left ( y \right ) </math> es una función en términos de la variable dependiente '''y''', dado que <math> y = f \left ( x \right ) </math>, entonces para obtener la derivada:
-: <math> D_x \left ( G \left ( y \right ) \right ) = D_x \left ( G \left ( f \left ( x \right ) \right ) \right ) = G' \left ( x \right ) \left ( f' \left ( x \right ) \right ) </math>
-== Ejemplo ==
-Obtener la derivada de:
-: <math> 6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \, </math>
-El término <math> 6x^2y </math> Se puede considerar que son dos funciones, <math> 6x^2 </math> y <math> y </math> por lo que se derivara como un producto:
-:<math> D_x \left ( 6x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right ) </math>
-El término <math> 5y^3 </math> se deriva como:
-: <math> D_x \left ( 5y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx} </math>
-El término <math> 3x^2 </math> se deriva de forma normal como:
-: <math> D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,</math>
-El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.
-: <math> D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,</math>
-Para el término <math> x^2y^2 </math> se puede considerar como un producto y se deriva como:
-: <math> D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right ) </math>
-Al unir todos los términos se obtiene:
-: <math> 12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx} </math>
-Ordenando
-: <math> 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2 </math>
-Agrupando los valores se obtiene:
-: <math>\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right ) </math>
-Finalmente despejando <math>\frac {dy}{dx}</math> se obtiene la derivada de la función implícita:
-: <math> \frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y } </math>
 Existen versiones de este teorema con hipótesis algo más generales.