Diferencia entre revisiones de «Máximo común divisor»

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Revisión del 20:30 4 sep 2009

El máximo común divisor («m.c.d.» o «mcd») de dos o más números naturales es el mayor divisor posible de todos ellos.

Propiedades

Ejemplo m.c.d:

        mcd(5,7)=1

$mcd(m,n)=p_{1}^{min(\alpha _{1},\beta _{1})}\cdots p_{k}^{min(\alpha _{k},\beta _{k})}$

La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....

Geométricamente, el máximo común divisor de a y b es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (a,b), excluyendo el (0,0).

En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.

Cálculo del MCD

Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:

Se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.

Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el mucho más rápido algoritmo de Euclides.

El m.c.d. de dos números se puede calcular como sigue: mcd(a,b,c) = mcd(a, mcd(b,c)).

mcd(48, 60). Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60 son:

48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48};

60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}

por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Véamoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente:

De las factorizaciones de 48 y 60, (48 = 2⁴.3 y 60=2².3.5) podemos inferir que su m.c.d. es 2².3 = 12 o comúnmente expresado como mcd(60,48)=12.

Como puede verse hemos necesitado calcular los factorización de 48 y 60 en factores primos (En torno a 10 divisiones siendo los factores sencillos).

Si en cambio utilizamos el algoritmo de Euclides:

Calculamos el resto de dividir 60 por 48, 12 (En este caso es igual a restar 48 a 60).

Calculamos el resto de dividir 48 por 12: 0. Por tanto, el mcd de 48 y 60 es 12.

Como puede verse utilizando el algoritmo de Euclides hemos necesitado:

Una resta

Una división

otro ejemplo:

(6936,1200) = 2³ · 3 = 24.

un último ejemplo, mcd(7000000, 7000002).

Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números:

7000000 = 2⁶ . 5⁶ . 7

7000002 = 2¹ . 3² . 157 . 2477

por lo que su mcd es 2 (Se trata del único factor común elevado al mínimo exponente, 1).

Si utilizamos el algoritmo de Euclides llegamos al mismo resultado (haciendo dos divisiones).

Hay también un método gráfico y sencillo para calcular el máximo común divisor, véase el vídeo de abajo, en apartado enlaces externos.

El MCD es inversamente proporcional a este.

Véase también

Enlaces externos

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+El '''máximo común divisor''' («'''m.c.d.'''» o «'''mcd'''») de dos o más [[número natural|números naturales]] es el mayor divisor posible de todos ellos.
+== Propiedades ==
-El máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números.
+Ejemplo m.c.d:
+         mcd(5,7)=1
+#<center><math> mcd(m,n)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}\cdots p_k^{min(\alpha_k,\beta_k)}</math>
+</center>
+La última propiedad dice que el máximo común divisor de dos números resulta ser el producto de sus factores primos comunes elevados al menor exponente....
-Para calcularlo. De los números que vayas a sacar el máximo común divisor, se ponen uno debajo del otro, se sacan todos los divisores de los dos números y el máximo que se repita es el máximo común divisor (M.C.D.)
+[[Geometría|Geométricamente]], el máximo común divisor de ''a'' y ''b'' es el número de puntos de coordenadas enteras que hay en el segmento que une los puntos (0,0) y (''a'',''b''), excluyendo el (0,0).
-Ejemplo: Sacar el M.C.D. de 20 y 10: 20:  1, 2, 4, 5, 10 y 20
-:  1, 2, 5 y 10
+En palabras más simples, el máximo común divisor de dos o más números es el número, más grande posible, que permite dividir a esos números al mismo tiempo.
-Esto sirve para números pequeños. Pero para números grandes hay otra manera: la descomposición de factores.
- Forma rápida de calcular el Máximo común Divisor (M.C.D.).
-Ejemplo: Sacar el M. C. D. de 40 y 60:
-º Tienes que saber las reglas divisibilidad . Haces la descomposición de factores poniendo números primos. Por ejemplo para 40, en la tabla de abajo, se va descomponiendo en 2, 2, 2 y 5.
-2  60   2
-2  30  2
-2  15  3
-5  5  5
-1
-º De los resultados, se cogen los números repetidos de menor exponente y se multiplican y ese es el M.C.D.
-M.C.D. 40 = 2x2x2x5  MCD = 2x2x5= 20
+== Cálculo del MCD ==
+Los dos métodos más utilizados para el cálculo del máximo común divisor de dos números son:
-M.C.D. 60 = 2x2x3x5  quedatee tranquii
- ELIANA POLO
+:* Se descompondrán los números en factores primos y se tomarán los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d.
+:* Si el número es muy grande este método no es operativo porque no conocemos los posibles factores. En ese caso tenemos que utilizar el mucho más rápido [[algoritmo de Euclides]].
+El m.c.d. de dos números se puede calcular como sigue: mcd(''a'',''b'',''c'') = mcd(''a'', mcd(''b'',''c'')).
+* mcd(48, 60). Podemos comprobar que los divisores de 48 y 60 son:
+:48 = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48};
+:60 = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
+por lo que el máximo común divisor de ambos es 12. Véamoslo utilizando los dos métodos descritos anteriormente:
+:*De las factorizaciones de 48 y 60, (48 = 2<sup>4</sup>.3 y 60=2<sup>2</sup>.3.5) podemos inferir que su m.c.d. es 2<sup>2</sup>.3 = 12 o comúnmente expresado como mcd(60,48)=12.
+::Como puede verse hemos necesitado calcular los factorización de 48 y 60 en factores primos (En torno a 10 divisiones siendo los factores sencillos).
+:*Si en cambio utilizamos el algoritmo de Euclides:
+::Calculamos el resto de dividir 60 por 48, 12 (En este caso es igual a restar 48 a 60).
+::Calculamos el resto de dividir 48 por 12: 0. Por tanto, el mcd de 48 y 60 es 12.
+:Como puede verse utilizando el algoritmo de Euclides hemos necesitado:
+:: Una resta
+:: Una división
+* otro ejemplo:
+(6936,1200) = 2<sup>3</sup> · 3 = 24.
+* un último ejemplo, mcd(7000000, 7000002).
+Tras un sencillo cálculo obtenemos los factores de ambos números:
+:7000000 = 2<sup>6</sup> . 5<sup>6</sup> . 7
+:7000002 = 2<sup>1</sup> . 3<sup>2</sup> . 157 . 2477
+por lo que su mcd es 2 (Se trata del único factor común elevado al mínimo exponente, 1).
+Si utilizamos el algoritmo de Euclides llegamos al mismo resultado (haciendo dos divisiones).
+Hay también un método gráfico y sencillo para calcular el máximo común divisor, véase el vídeo de abajo, en apartado enlaces externos.
+El MCD es inversamente proporcional a este.
+== Véase también ==
+* [[Mínimo común múltiplo]]
+* [[Algoritmo de Euclides]]
+== Enlaces externos ==
+* [http://enciclopedia.us.es/index.php/M%C3%A1ximo_com%C3%BAn_divisor El Máximo común divisor en Enciclopedia libre universal en español]
+* [http://gcd.awardspace.com/index_sp.php La calculadora MCD en línea ( 4 métodos )]
+* [http://www.cinosargos.com/joaquimrehuesdomenech/ MCD en números decimales]
+{{ORDENAR:Maximo comun divisor}}
+[[Categoría:Aritmética elemental]]
+[[ar:قاسم مشترك أكبر]]
+[[az:ƏBOB]]
+[[bg:Най-голям общ делител]]
+[[ca:Màxim comú divisor]]
+[[cs:Největší společný dělitel]]
+[[da:Største fælles divisor]]
+[[de:Größter gemeinsamer Teiler]]
+[[en:Greatest common divisor]]
+[[eo:Plej granda komuna divizoro]]
+[[et:Suurim ühistegur]]
+[[fa:بزرگ‌ترین مقسوم علیه مشترک]]
+[[fi:Suurin yhteinen tekijä]]
+[[fr:Plus grand commun diviseur]]
+[[he:מחלק משותף מקסימלי]]
+[[id:Faktor persekutuan terbesar]]
+[[is:Stærsti samdeilir]]
+[[it:Massimo comun divisore]]
+[[ja:最大公約数]]
+[[ko:최대공약수]]
+[[lt:Didžiausias bendrasis daliklis]]
+[[lv:Lielākais kopīgais dalītājs]]
+[[ml:ഉത്തമ സാധാരണ ഘടകം]]
+[[nl:Grootste gemene deler]]
+[[no:Største felles divisor]]
+[[pl:Największy wspólny dzielnik]]
+[[pms:Màssim divisor comun]]
+[[pt:Máximo divisor comum]]
+[[ru:Наибольший общий делитель]]
+[[sk:Najväčší spoločný deliteľ]]
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+[[sv:Största gemensamma delare]]
+[[te:గరిష్ఠ సామాన్య భాజకం]]
+[[th:ตัวหารร่วมมาก]]
+[[uk:Найбільший спільний дільник]]
+[[ur:عاد اعظم]]
+[[vi:Ước số chung lớn nhất]]
+[[yi:גרעסטער געמיינזאמער טיילער]]
+[[zh:最大公因數]]