Regla de Simpson

La función f(x) (azul) es aproximada por una función cuadrática P(x) (rojo).

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]$.

Derivación de la regla de Simpson

Consideramos el polinomio interpolante de orden dos $\mathrm {P_{2}(x)}$, que aproxima a la función integrando $\mathrm {f(x)}$ entre los nodos x₀ = a, x₁ = b y m = (a+b)/2. La expresión de ese polinomio interpolante, expresado a través de la Interpolación polinómica de Lagrange es:

$P_{2}(x)=f(a){\frac {(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}}+f(m){\frac {(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}}+f(b){\frac {(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)}}.$

Así, la integral buscada se puede aproximar como:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}P_{2}(x)\,dx={\frac {h}{3}}\left[f(a)+4f(m)+f(b)\right].$

Error

El error al aproximar la integral mediante la Regla de Simpson es

$-{\frac {h^{5}}{90}}f^{(4)}(\xi ),$

donde $h=(b-a)/2$ y $\xi \in [a,b]$.

Regla de Simpson compuesta

En el caso de que el intervalo [a,b] no sea lo suficientemente pequeño, el error al calcular la integral puede ser muy grande. Para ello, se recurre a la fórmula compuesta de Simpson. Dividiremos el intervalo [a,b] en n subintervalos iguales, de manera que $x_{i}=a+ih$, donde $h=(b-a)/n$ para $i=0,1,...,n$.

Aplicando la Regla de Simpson a cada subintervalo, tenemos:

$\int _{x_{j-1}}^{x_{j}}f(x)\,dx={\frac {x_{j}-x_{j-1}}{6}}\left[f(x_{j-1})+4f\left({\frac {x_{j-1}+x_{j}}{2}}\right)+f(x_{j})\right]j=1,...,n.$

Sumando las integrales de todos los subintervalos, llegamos a que:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+2\sum _{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+4\sum _{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_{n}){\bigg ]},$

El máximo error viene dado por la expresión $-{\frac {h^{4}}{180}}(b-a)f^{(4)}(\xi ).$

Version simplificada:

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}(E+4I+2P)$

Donde E son los extremos I son la funcion evaluada en los intervalos impares y P la funcion evaluada en los intervalos pares. Con n= 0,1,2,3,4... )