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Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos: |
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que no queden huecos |
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que no se superpongan o traslapen las figuras. |
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Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial. |
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Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios. |
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Contenido [ocultar] |
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1 Antecedentes históricos |
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2 Conceptos previos |
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3 Teselaciones regulares |
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4 Teselaciones semi-regulares. |
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5 Teselaciones no regulares |
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5.1 Cuadriláteros |
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5.2 Triángulos |
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5.3 Hexágonos |
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5.4 Teselación de El Cairo |
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5.5 Polígonos Cóncavos |
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6 Construcción de teselas |
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6.1 Método quita y pon |
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6.2 Teselaciones e isometría |
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7 Véase también |
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8 Enlaces externos |
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Antecedentes históricos [editar]Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas. |
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Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano. |
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Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos. |
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Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de las llamadas teselaciones. |
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Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió las teselaciones hiperbólicas, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte. |
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ángulos que concurren a un vértice |
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Conceptos previos [editar]En una teselación plana la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º. |
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Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales. |
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Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono. |
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Un polígono es cóncavo si no es convexo. |
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Teselaciones regulares [editar]Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono. |
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Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres. |
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Triángulos equilateros |
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Cuadrados |
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Hexágonos |
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Teselaciones semi-regulares. [editar]Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las siguientes propiedades: |
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Esta formada sólo por polígonos regulares. |
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El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice. |
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Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares |
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8 8 4 |
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3 3 3 4 4 |
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3 3 4 3 4 |
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3 3 3 3 6 |
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3 12 12 |
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3 4 4 6 |
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3 6 3 6 |
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4 6 12 |
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Teselaciones con figuras semi-regulares |
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8 8 4 |
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3 3 4 3 4 |
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3 3 3 3 6 |
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3 12 12 |
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3 4 4 6 |
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3 6 3 6 |
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4 6 12 |
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Teselaciones no regulares [editar]Son aquellas formadas por polígonos no regulares |
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Cuadriláteros [editar]Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero. |
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Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible |
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Triángulos [editar]Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente. |
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Hexágonos [editar] |
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Teselación de El Cairo [editar] |
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Teselación de El CairoEsta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre. |
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El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°. |
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Polígonos Cóncavos [editar]Flecha derecha |
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Cruz griega |
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Angulo himterk |
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Chevron de laynon |
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Construcción de teselas [editar] |
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Método quita y pon [editar]Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselaciones construidos con este método. |
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Teselaciones e isometría [editar]A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños. |
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Véase también [editar]Maurits Cornelis Escher |
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Polígonos de Thiessen |
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Teselación de El Cairo |
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Teselación de Penrose |
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Transformaciones isométricas |
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Enlaces externos [editar]Sitio Oficial de Escher |
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14 Pentágonos que teselan el plano |
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Video Teselaciones |
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Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Teselaci%C3%B3n" |
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Revisión del 14:55 11 may 2009
Las transformaciones isométricas son transformaciones de figuras en el plano que se realizan sin variar las dimensiones ni el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes.
La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.
Traslación
La traslación es una isometría que realiza un cambio de posición, determinada por un vector.
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Se llama traslación de vector v a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano tal que m'm es igual a v.
Simetría
Simetría es la correspondencia exacta en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje) o un plano. Se denominan: central, axial y especular o bilateral.
Simetría central
La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:
a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.
b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
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Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.
Simetría axial
La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:
a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.
b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.
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En la simetría axial se conservan las distancias pero no el sentido de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.
Composición de simetrías
Si se aplica la misma simetría dos veces, se obtiene una identidad.
Si se aplican dos simetrías respecto de ejes paralelos, se obtiene una traslación cuyo desplazamiento es el doble de la distancia entre dichos ejes.
Si se aplican dos simetrías respecto de ejes que se cortan en O, se obtiene giro con centro en O, cuyo ángulo es el doble del que forman dichos ejes.
Rotación
Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio de orientación de un cuerpo, de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:
- Un punto denominado centro de rotación.
- Un ángulo
- Un sentido de rotación.
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