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Resumen

DescripciónParadoxical decomposition F2.png	English: Illustration for the paradoxical decomposition of ${\displaystyle F_{2}}$ used in the proof of the Banach-Tarski paradox.
Fuente	Trabajo propio, made using MetaPost program.
Autor	David Benbennick
Permiso (Reutilización de este archivo)	Yo, titular de los derechos de autor de esta obra, la publico en los términos de las siguientes licencias: Se autoriza la copia, distribución y modificación de este documento bajo los términos de la licencia de documentación libre GNU, versión 1.2 o cualquier otra que posteriormente publique la Fundación para el Software Libre; sin secciones invariables, textos de portada, ni textos de contraportada. Se incluye una copia de la dicha licencia en la sección titulada Licencia de Documentación Libre GNU.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue Este archivo se encuentra bajo la licencia Creative Commons Genérica de Atribución/Compartir-Igual 3.0. Eres libre: de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo de remezclar – de adaptar el trabajo Bajo las siguientes condiciones: atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo. compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original. Esta etiqueta de licencia fue agregada a este archivo como parte de la actualización de la licencia GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue Este archivo se encuentra bajo la licencia Creative Commons Genérica de Atribución/Compartir-Igual 2.0. Eres libre: de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo de remezclar – de adaptar el trabajo Bajo las siguientes condiciones: atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo. compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0CC BY-SA 2.0 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 truetrue Este archivo se encuentra bajo la licencia Creative Commons Genérica de Atribución/Compartir-Igual 2.5. Eres libre: de compartir – de copiar, distribuir y transmitir el trabajo de remezclar – de adaptar el trabajo Bajo las siguientes condiciones: atribución – Debes otorgar el crédito correspondiente, proporcionar un enlace a la licencia e indicar si realizaste algún cambio. Puedes hacerlo de cualquier manera razonable pero no de manera que sugiera que el licenciante te respalda a ti o al uso que hagas del trabajo. compartir igual – En caso de mezclar, transformar o modificar este trabajo, deberás distribuir el trabajo resultante bajo la misma licencia o una compatible como el original. https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5CC BY-SA 2.5 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 truetrue Puedes usar la licencia que prefieras.

Linethickness = 1pt;
beginfig(1);
  recursion_depth := 6;
  const := 2.2;

  numeric length;
  length := 1.3in / (const**recursion_depth);

  pickup pencircle scaled Linethickness;
  picture p, q, r;

  for i = 1 upto recursion_depth - 2:
    draw (0,0) -- (length,0);
    draw (0,-length) -- (0,length);

    length := length * const;

    currentpicture := currentpicture shifted (length,0);
    p := currentpicture rotated 90;
    q := p yscaled -1;

    addto currentpicture also p;
    addto currentpicture also q;
  endfor;

  draw (0,0) -- (length,0);
  draw (0,-length) -- (0,length);

  length := length * const;

  currentpicture := currentpicture shifted (length,0);
  p := currentpicture rotated 90;
  q := p yscaled -1;
  r := currentpicture xscaled -1;

  addto currentpicture also p;
  addto currentpicture also q;
  addto currentpicture also r;

  draw (-length,0) -- (length,0);
  draw (0,-length) -- (0,length);

  dotlabel.urt(btex$e$etex, (0,0));
  dotlabel.ulft(btex$a$etex, (length,0));
  dotlabel.lrt(btex$b$etex, (0,length));

  pair P, Q, R;
  P := (-0.5length, 0.5length);
  Q := (-length, 0.9length);

  draw P .. Q .. (-2length,0) .. Q yscaled -1 .. P yscaled -1
    .. cycle withcolor red;

  label.top(btex$S(a^{-1})$etex, (-1.2length, 0.9length)) withcolor red;

  Q := (length, length);
  R := (0, 2length);
  draw P xscaled -1 --- Q .. R .. (-2.2length, 0) .. R yscaled -1
    .. Q yscaled -1 --- P scaled -1 .. cycle withcolor blue;

  label.rt(btex$aS(a^{-1})$etex, (1.1length,1.1length)) withcolor blue;

  currentpicture := currentpicture shifted (10cm,10cm);
endfig;
end;

I saved the above as Paradoxical_decomposition_F2.mp, and the following LaTeX program as Paradoxical_decomposition_F2.tex:

%&latex
\documentclass[12pt]{article}
 \usepackage{graphicx}
 \pagestyle{empty}
\begin{document}
 \includegraphics{Paradoxical_decomposition_F2.1}
\end{document}

I then ran the following commands:

mpost Paradoxical_decomposition_F2
tex Paradoxical_decomposition_F2
dvips -mode ljfzzz -D 1200 Paradoxical_decomposition_F2 -o
convert -density 1200 Paradoxical_decomposition_F2.ps Paradoxical_decomposition_F2.pnm
pnmcrop Paradoxical_decomposition_F2.pnm | pnmtopng > Paradoxical_decomposition_F2.png
advpng -z4 Paradoxical_decomposition_F2.png