Arco (geometría proyectiva)

Los puntos rojos forman un 4-arco en el plano de Fano, el plano proyectivo de orden 2

Un arco' (simple) en geometría proyectiva finita es un conjunto de puntos que satisface, de forma intuitiva, una característica de las figuras curvas en geometrías continuas. En términos generales, son conjuntos de puntos que están lejos estar alineados en un plano o lejos de pertenecer a un plano en un espacio tridimensional. En este entorno finito es típico incluir el número de puntos del conjunto en el nombre, por lo que estos arcos simples se denominan k-arcos. Una generalización importante del concepto de k-arco, también denominada arco en la bibliografía, son los (k, d)-arcos.

k-arcos en un plano proyectivo

En un plano proyectivo Plantilla:Pi finito (no necesariamente Teorema de Desargues) un conjunto A de puntos k (k ≥ 3) tal que no hay tres puntos de A que sean collinear (en una línea ) se llama k - arc. Si el plano Plantilla:Pi tiene orden q entonces k ≤ q + 2, sin embargo el valor máximo de k solo se puede lograr si q es par.​ En un plano de orden q, un arco (q + 1) se denomina oval y, si q es par, (q + 2)- El arco se llama hyperoval.

Cada cónica en el plano proyectivo desarguesiano PG(2,q), es decir, el conjunto de ceros de una ecuación cuadrática homogénea irreducible, es un óvalo. Un célebre resultado de Beniamino Segre establece que cuando q es impar, cada arco (q + 1) en PG(2,q) es una cónica (Segre's theorem). Este es uno de los resultados pioneros en geometría finita.

Si q es par y A es un arco (q + 1) en Plantilla:Pi, entonces se puede demostrar mediante argumentos combinatorios que debe existir un punto único en Plantilla:Pi (llamado núcleo de A) tal que la unión de A y este punto es un arco (q + 2). Por tanto, cada óvalo puede extenderse únicamente a un hiperóvalo en un plano proyectivo finito de orden uniforme.

Un arco k que no se puede extender a un arco mayor se denomina arco completo. En los planos proyectivos desarguesianos, PG(2,q), ningún arco q está completo, por lo que todos pueden extenderse a óvalos.​

Arcos k en un espacio proyectivo

En el espacio proyectivo PG(n, q) finito con n ≥ 3, un conjunto A de puntos k ≥ n + 1 tal que ningún punto n + 1 se encuentre en un hyperplane común se denomina k-arco (espacial). Esta definición generaliza la definición de un arco k en un plano (donde n= 2).

(k, d) -arcos en un plano proyectivo

Un (k, d)-arco (k, d > 1) en un plano proyectivo finito Plantilla:Pi (no necesariamente Teorema de Desargues) es un conjunto, A de puntos k de Plantilla:Pi tal que cada línea intersecta a A en como máximo los puntos d, y hay al menos una línea que interseque a A en puntos d. Un arco (k, 2) es un arco k y puede denominarse simplemente arco si el tamaño no es una preocupación.

El número de puntos k de un arco (k, d) A en un plano proyectivo de orden q es como máximo qd + d − q. Cuando se produce igualdad, se llama a A un maximal arc.

Los hiperóvalos son arcos máximos. Los arcos completos no necesitan ser arcos máximos.

Véase también

• Curva normal racional

Bibliografía

• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer Science+Business Media, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 .
• Hirschfeld, J.W.P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, New York: Oxford University Press, ISBN 0-19-853526-0 .

Enlaces externos

• C.M. O'Keefe (2001), «Arc_(projective_geometry)&oldid=25358», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q4785004