Punto umbilical

Líneas de curvatura en un elipsoide, que muestran puntos umbilicales (en rojo)

En la geometría diferencial de superficies en tres dimensiones, se define un punto umbilical en una superficie como aquel que es localmente esférico. En tales puntos, los marcos de Darboux en todas las direcciones son iguales, y por lo tanto, ambas curvaturas principales son iguales y cada vector tangente es una dirección principal. El término umbilical procede del latín "umbilicus" (ombligo).

Los puntos umbilicales generalmente aparecen como puntos aislados en la región elíptica de la superficie; es decir, donde la curvatura de Gauss es positiva.

Propiedades

Problemas no resueltos de la matemática: ¿Toda esfera topológica suave en el espacio euclídeo tiene al menos dos puntos umbilicales?

La esfera es la única superficie con curvatura distinta de cero donde cada punto es umbilical. Un punto umbilical plano es un punto umbilical con curvatura gaussiana cero. La silla de mono es un ejemplo de una superficie con un punto umbilical plano y con un plano en el que cada punto es umbilical plano. Un toro no puede tener puntos umbilicales, pero cada superficie cerrada de característica de Euler distinta de cero, embebida suavemente en el espacio euclídeo, tiene al menos un punto umbilical. La conjetura de Carathéodory (propuesta por Constantin Carathéodory, y todavía sin demostrar en 2010) afirma que toda esfera topológica suave en el espacio euclidiano tiene al menos dos puntos umbilicales.​

Los tres tipos principales de puntos umbilicales son los puntos umbilicales elípticos, los parabólicos y los hiperbólicos. Los puntos umbilicales elípticos tienen tres líneas ridge que pasan a través del umbilical y los umbilicales hiperbólicos tienen solo una. Los umbilicales parabólicos son un caso de transición con dos crestas, una de las cuales es singular. Otras configuraciones son posibles para casos transitorios. Estos casos corresponden a las catástrofes elementales D₄⁻, D₅ y D₄⁺ del teoría de las catástrofes de René Thom.

Los puntos umbilicales también se pueden caracterizar por el patrón de la dirección principal del campo vectorial a su alrededor, que normalmente forma una de tres configuraciones: estrella, limón y estrella de limón (o monstruo). El index del campo vectorial es −½ (estrella) o ½ (limón, monstruo). Los umbilicales elípticos y parabólicos siempre tienen el patrón de estrella, mientras que los umbilicales hiperbólicos pueden ser de estrella, limón o monstruo. Esta clasificación se debió primero a Darboux y los nombres provienen de Hannay.​

Para superficies con genus 0 con umbilicales aislados, p. En un elipsoide, el índice del campo vectorial de dirección principal debe ser 2 según Poincaré–Hopf theorem. Las superficies genéricas del género 0 tienen al menos cuatro umbilicales de índice ½. Un elipsoide de revolución tiene dos umbilicales no genéricos, cada uno de los cuales tiene índice 1.​

• configurations of lines of curvature near umbilics
• 
  Star
• 
  Monstar
• 
  Lemon

Clasificación de puntos umbilicales

Formas cúbicas

La clasificación de los puntos umbilicales está estrechamente ligada a la clasificación de los cubic form reales $ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}$. Una forma cúbica tendrá un número de líneas raíz $\lambda (x,y)$ tal que la forma cúbica sea cero para todo $\lambda$ real. Hay una serie de posibilidades que incluyen:

• Tres líneas distintas: una forma cúbica elíptica, modelo estándar $x^{2}y-y^{3}$.
• Tres líneas, dos de las cuales coinciden: una forma cúbica parabólica, modelo estándar $x^{2}y$.
• Una sola recta real: una forma cúbica hiperbólica, modelo estándar $x^{2}y+y^{3}$.
• Tres líneas coincidentes, modelo estándar $x^{3}$.​

Las clases de equivalencia de tales cúbicas bajo escala uniforme forman un espacio proyectivo real tridimensional y el subconjunto de formas parabólicas definen una superficie, llamada umbilic bracelet por Christopher Zeeman.​ Al tomar clases de equivalencia bajo la rotación del sistema de coordenadas se elimina un parámetro adicional y las formas cúbicas se pueden representar mediante la forma cúbica compleja $z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}$ con un único parámetro complejo $\beta$. Las formas parabólicas ocurren cuando $\beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })$, el deltoides interno, las formas elípticas están dentro del deltoides y las hiperbólicas afuera. Si $\left|\beta \right|=1$ y $\beta$ no son una raíz cúbica de la unidad, entonces la forma cúbica es una "forma cúbica en ángulo recto" que desempeña un papel especial para los umbilicales. Si $\left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}$ entonces dos de las líneas raíz son ortogonales.​

Una segunda forma cúbica, la "jacobiana", se forma tomando el Matriz y determinante jacobianos de la función vectorial $F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$, $F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})$. Hasta un múltiplo constante, esta es la forma cúbica $bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}$. Usando números complejos, el jacobiano es una forma cúbica parabólica cuando $\beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }$, el deltoides externo en el diagrama de clasificación.​

Clasificación de puntos umbilicales

Umbilic classification, the $\beta$—plane. The Inner deltoid give parabolic umbilics, separates elliptical and hyperbolic umbilics. Cusps on inner deltoid: cubic umbilics. Outer circle, the birth of umbilics separates star and monstar configurations. Outer deltoid, separates monstar and lemon configuration. Diagonals and the horizontal line - symmetrical umbilics with mirror symmetry.

Cualquier superficie con un punto umbilical aislado en el origen se puede expresar como una parametrización Monge form $z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots$, donde $\kappa$ es la curvatura principal única. El tipo de umbilical se clasifica por la forma cúbica a partir de la parte cúbica y la correspondiente forma cúbica jacobiana. Si bien las direcciones principales no están definidas únicamente en un umbilical, se pueden encontrar los límites de las direcciones principales cuando se sigue una cresta en la superficie y éstas corresponden a las líneas de raíz de la forma cúbica. El patrón de líneas de curvatura está determinado por el jacobiano.​

La clasificación de los puntos umbilicales es la siguiente:​

• Dentro del deltoides interno - umbilicales elípticos
  • En el círculo interior: dos líneas de cresta tangentes
• En el deltoides interno - umbilicales parabólicos
• Deltoides interno externo: umbilicales hiperbólicos.
  • Dentro del círculo exterior - patrón de estrella
  • En el círculo exterior - nacimiento de los ombligos
  • Entre el círculo exterior y el deltoides exterior - patrón de estrella
  • Deltoides exterior externo - patrón de limón
• Cusps del deltoides interno - umbilicales cúbicos (simbólicos)
• En las diagonales y en la línea horizontal: umbilicales simétricos con simetría especular.

En una familia genérica de superficies umbilicales puede crearse o destruirse en pares: la transición del "nacimiento de los umbilicales". Ambos umbilicales serán hiperbólicos, uno con un patrón de estrella y otro con un patrón de monstruo. El círculo exterior del diagrama, una forma cúbica en ángulo recto, muestra estos casos de transición. Un caso especial son los ombligos simbólicos.​

Superficie focal

A surface with an elliptical umbilic, and its focal surface.

A surface with a hyperbolic umbilic and its focal surface.

Los umbilicales elípticos y los umbilicales hiperbólicos tienen focal surface claramente diferentes. Una cresta en la superficie corresponde a un cuspidal edges, por lo que cada hoja de la superficie focal elíptica tendrá tres bordes cúspides que se unen en el foco umbilical y luego cambian a la otra hoja. Para un umbilical hiperbólico hay un único borde cúspide que cambia de una hoja a la otra.​

Definición en dimensiones superiores sobre variedades de Riemann

Un punto p en una subvariedad riemanniana es umbilical si, en p, el Second fundamental form (con valor vectorial) es algún tensor vectorial normal, la métrica inducida (First fundamental form). De manera equivalente, para todos los vectores U, V en p, II(U, V) = g' 'p(U, V)$\nu$, donde $\nu$ es el vector de curvatura media en p.

Se dice que una subvariedad es umbilical (o totalmente umbilical) si esta condición se cumple en todos los puntos "p". Esto equivale a decir que la subvariedad puede volverse totalmente geodésica mediante un cambio conforme apropiado de la métrica de la variedad circundante ("ambiente"). Por ejemplo, una superficie en el espacio euclidiano es umbilical si y solo si es un trozo de esfera.

Véase también

• Curvaturas principales

Bibliografía

• Darboux, Gaston (1896) [1887], Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volumes I–IV, Gauthier-Villars .
  • Volumen I
  • Volumen II
  • Volumen III
  • Volumen IV
• Imágenes de estrella, limón, monstruo y otras referencias

• Datos: Q3351935