Pseudoespectro

En matemáticas, el pseudoespectro de un operador es un conjunto que contiene el espectro del operador y los valores que son "casi" valores propios . El conocimiento del pseudoespectro resulta particularmente útil para comprender los operadores no normales y sus funciones propias.

El ε-pseudoespectro de una matriz A está constituido por todos los valores propios de las matrices ε-cercanas a A: ​

$\Lambda _{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \exists x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\},\exists E\in \mathbb {C} ^{n\times n}\colon (A+E)x=\lambda x,\|E\|\leq \epsilon \}.$

Los métodos numéricos para el cálculo de los valores propios de una matriz cometen errores debido al redondeo y otros factores. Estos errores se pueden describir con la matriz E .

De forma más general, considerando espacios de Banach $X,Y$, se puede definir el $\epsilon$-pseudoespectro del operador $A:X\to Y$ (denotado por ${\text{sp}}_{\epsilon }(A)$ ) de la siguiente manera

${\text{sp}}_{\epsilon }(A)=\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \|(A-\lambda I)^{-1}\|\geq 1/\epsilon \}.$

donde, por convenio, se toma $\|(A-\lambda I)^{-1}\|=\infty$ si $A-\lambda I$ no es invertible. ​

Referencias

• Lloyd N. Trefethen y Mark Embree: "Spectra And Pseudospectra: The Behavior of Nonnormal Matrices And Operators", Princeton Univ. Press, ISBN 978-0691119465 (2005).
• Pseudospectra Gateway / Embree y Trefethen [1]