Diferencia entre revisiones de «Coeficiente binomial gaussiano»
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En matemáticas, los coeficientes binomiales gaussianos (también llamados coeficientes gaussianos, polinomios gaussianos, o coeficientes q-binomiales) son q-análogos de los coeficientes binomiales. El coeficiente gaussiano binomial, escrito como
- o ,
es un polinomio en q con coeficientes enteros, cuyos valores cuando q es tomada como una potencia prima cuenta el número de subespacios de dimensión k en un espacio vectorial de dimensión n sobre un cuerpo finito con q elementos.
Definiciones
Los coeficientes binomiales gaussianos se define como:[1]
donde m y r son enteros no negativos. Si r > m, se evalua a 0. Para r = 0, el valor es 1 puesto que el numerador y el denominador son productos vacíos.
Aunque la fórmula en pricipio parecer ser una función racional, en realidad es un polinomio, puesto que la división es exacta en Z[q]
Todos los factores en el numerador y el denominador son divisibles por 1 − q, y el cocientes es el q-número:
Dividiendo estos factores da la fórmula equivalente
En términos del 'q factorial , la fórmula puede ser expresada como
Sustituyendo q = 1 en se obtiene el coeficiente binomial ordinario .
El coeficiente binomial gaussiano tiene valores finitos como :
Ejemplos
Propiedades
Reflexión
Como ocurre en el coeficientes binomiales ordinarios, los coeficientes binomiales gaussianos tienen simetría central, i.e., son invariantes bajo la reflexión :
en particular,
Límite cuando q = 1
La evaluación de un coeficiente binomial gaussiano cuando q = 1 es
i.e. la suma de los coeficientes da el corresponiente valor binomial.
Análogos del la identidad de Pascal
Los análogos de la [[identidad de Pascal] para los coeficientes binomiales gaussianos son:[2]
y
Cuando , these ambos dan la identidad binomial usual. Se puede ver que cuando , ambas ecuaciones continuan siendo válidas.
El primer análogo de Pascal permite el cálculo recursivo de los coeficientes binomiales gaussianos (con respecto a m ) usando los valores iniciales
y también muestra que los coeficientes binomiales de Gauss son de hecho polinomios (en q).
El segundo análogo de Pascal se sigue del primero usando la sustitución y de la invarianza de los coeficientes binomiales gaussianos bajo la reflexión .
Demostraciones de los análagos
Ambos análogos pueden probarse observando primero que a partir de la definición de , se tiene que:
como
[1] se convierte en:
y sustituyendo en [3] se obtiene el primer análogo.
En un proceso similar, usando
en vez de el anterior, se obtiene el segundo análogo.
Teorema q-binomial
Hay una análogo del teorema binomial para coeficientes q-binomiales:
Al igual que el teorema del binomio habitual, esta fórmula tiene numerosas generalizaciones y extensiones; una de ellas, correspondiente al teorema binomial generalizado de Newton para potencias negativas, es
En el límite , estas fórmulas dan
y
- .
Tomando se obtienen las funciones generadoras para distintas partes y cualquier parte respectivamente.
Identidad q-binomial central
Con los coeficientes binomiales ordinarios, se tiene que:
Con los coeficientes q-binomiales, es análogo es:
Referencias
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