Centralidad de vector propio

Ejemplo de un mismo grafo donde se visualizan distintas medidas de centralidad:
A) intermediación
B) cercanía
C) vector propio
D) grado
E) centralidad armónica
F) centralidad de Katz
Las tonalidades van del rojo (más centrales) al azul (más periféricos).

En análisis de redes sociales, la centralidad de vector propio (en inglés, eigenvector centrality), también llamado prestigio de rango o prestigio de estatus, es una medida de centralidad utilizada para cuantificar el nivel de influencia, prestigio o estatus de un nodo o actor en un grafo o red social. Fue propuesta por Phillip Bonacich en 1972,​ y corresponde al principal vector propio de la matriz de adyacencia del grafo analizado.​

Intuitivamente, los nodos que poseen un valor alto de esta medida de centralidad están conectados a muchos nodos que a su vez están bien conectados, también en este sentido; por lo tanto, son buenos candidatos para difundir información, divulgar rumores o enfermedades, etc. Los nodos más centrales en este sentido corresponden a centros de grandes grupos cohesivos. Mientras que en el caso de la centralidad de grado, cada nodo pesa lo mismo dentro de la red, en este caso la conexión de los nodos pesa de forma diferente.

En general habrá varios valores propios para los cuales existe una solución de vector propio. Sin embargo, el requerimiento adicional de que las entradas de los vectores propios sean positivos implica (por el Teorema de Perron-Frobenius) que sólo los mayores valores propios conduzcan a la medida de centralidad deseada.​ El método de las potencias es uno de los muchos algoritmos existentes para calcular el valor propio que puede ser utilizado para encontrar el vector propio dominante.​ Además, este puede generalizarse tal que las entradas en la matriz de adyacencia $A$ puedan ser números reales representrando fuerzas de conexión, como en una matriz estocástica.

Variaciones de la centralidad de vector propio

Centralidades de Katz y Bonacich

Otra generalización de la centralidad de grado es la centralidad de Katz,​ que para un nodo cuenta el número de todos los otros nodos que están conectados con él a través de un camino, al mismo tiempo que se penalizan las conexiones con nodos más distantes por medio de un factor $\beta \in (0,1)$. La centralidad de vector propio es el límite de la centralidad de Katz cuando el factor $\beta$ se aproxima a ${\frac {1}{\lambda }}$ por debajo,​​ donde $\lambda$ es el valor propio obtenido de la ecuación $Ax=\lambda x$.

Formalmente, sea $A$ la matriz de adyacencia del grafo, y $n$ el número total de nodos, la centralidad de Katz $C_{KATZ}(i)$ de un nodo $i$ se define como:​

$C_{\mathrm {Katz} }(i)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}$

donde $e_{i}^{T}$ es un vector fila cuyo $i$-ésimo elemento es 1 y el resto son 0, y 1 es un vector de puros unos. Esta medida está relacionada con la centralidad de vector propio.​

Una pequeña variación de la centralidad de Katz está dada por la centralidad de Bonacich,​ la cual permite valores negativos para el factor $\beta$:

$C_{BON}(i)=e_{i}^{T}({\frac {1}{\beta }}\sum _{k=1}^{\infty }(\beta A)^{k}){\mathbf {1} }={\frac {1}{\beta }}\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n}\beta ^{k}(A^{k})_{ij}$

De este modo el peso negativo permite restar los caminos de número par de los de número impar, lo cual es interpretable en redes de intercambio.​​

Centralidad de Hubbell

Una generalización que incluye a las centralidades de Katz y Bonacich es la centralidad de Hubbell,​ definida formalmente como:

$C_{HUB}(i)=e_{i}^{T}(\sum _{k=0}^{\infty }X^{j}){\mathbf {y} }$

donde $X$ es una matriz e ${\mathbf {y} }$ un vector. Si $X=\beta A$ y ${\mathbf {y} }=\beta A{\mathbf {1} }$ se obtiene la centralidad de Katz, y si $X=\beta A$ y ${\mathbf {y} }=A{\mathbf {1} }$, se obtiene la centralidad de Bonacich.​

PageRank

El cálculo del PageRank de Google, utilizado para medir la relevancia de páginas web en Internet, es una variante de esta medida.​

Véase también

• Centralidad
• PageRank

Bibliografía

• Wasserman, Stanley; Faust, Katherine (2013) [1994]. Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. ISBN 978-84-7476-631-8. OCLC 871814053.