Centralidad de grado

En análisis de redes sociales, la centralidad de grado (en inglés, degree centrality) es la primera y más simple de las medida de centralidad.​ Descrita inicialmente por Proctor y Loomis (1951), corresponde sencillamente al grado de un nodo o actor, esto es, al número de aristas o lazos que posee un nodo con los demás.​

Definición formal

Formalmente, para un grafo no dirigido (o red social de relaciones simétricas), si para cada nodo $v\in V$, $\delta (v)$ denota el grado de dicho nodo, entonces su centralidad de grado $C_{D}(v)$ se define como:​

$C_{D}(v)=\delta (v)$

Si se tiene la matriz de adyacencia del grafo, entonces la centralidad de grado de un nodo $i$ se puede definir como:​

$C_{D}(i)=\sum _{j}a_{ij}=\sum _{j}a_{ji}$

Para normalizar esta medida, lo usual es dividir el grado de cada nodo por el número total de nodos de la red. En caso que la red considerada sea un grafo simple (sin bucles), entonces basta con dividir por el número total de nodos menos 1. En caso que el grado máximo para un grafo sea demasiado bajo, también se podría dividir por dicho grado máximo. Así, las siguientes son medidas de grado con normalizaciones aceptables:

$C_{D}(v)={\frac {\delta (v)}{n-1}}$, $\,\,\,C_{D}(v)={\frac {\delta (v)}{n}}$, $\,\,\,$ o bien $\,\,\,C_{D}(v)={\frac {\delta (v)}{\max _{u\in V}\{{\delta (u)\}}}}$

Para grafos dirigidos (o redes sociales con relaciones asimétricas), se pueden definir dos medidas de centralidad de grado diferentes, correspondientes al grado de entrada y al grado de salida, es decir, respectivamente:

$C_{D}^{-}(v)=\delta ^{-}(v)\,\,\,$ y $\,\,\,C_{D}^{+}(v)=\delta ^{+}(v)$

y como matrices de adyacencia:

$C_{D}^{-}(i)=\sum _{j}a_{ji}\,\,\,$ y $\,\,\,C_{D}^{+}(i)=\sum _{j}a_{ij}$

Ambas se consideran medidas de prestigio. Dependiendo del contexto, en análisis de redes sociales el grado de entrada podría interpretarse como una medida de popularidad, mientras que el grado de salida como una de actividad o sociabilidad.​

En complejidad computacional, el cálculo de esta medida toma $\Theta (V^{2})$ para un grafo denso, y $\Theta (E)$ para un grafo disperso.

Variantes de la centralidad de grado

El grado de un nodo puede verse como el número de caminos de longitud 1 que lo conectan con otros nodos. Una generalización natural a la centralidad de grado, es la centralidad de camino-k (en inglés, k-path centrality) que para cada nodo mide el número de caminos de largo «a lo más $k$» que lo conectan a otros nodos.​ En un grafo no dirigido, esta medida equivale a la cardinalidad de la vecindad del nodo, considerando una profundidad $k$.

Otra variante es la densidad de ego,​​ donde en lugar de normalizar por el número de nodos o el máximo grado, se escoge el máximo número de aristas posible de la red.​ Así, para un grafo no dirigido, dependiendo de si el grafo no admite bucles o sí los permite, se tiene, respectivamente:

$C_{D_{ego}}(v)={\frac {\delta (v)}{\max |E|}}={\frac {\delta (v)}{n(n-1)/2}}={\frac {2\delta (v)}{n(n-1)}}\,\,\,$ o bien $\,\,\,C_{D_{ego}}(v)={\frac {\delta (v)}{\max |E|}}={\frac {\delta (v)}{n^{2}/2}}={\frac {2\delta (v)}{n^{2}}}$

Si el grafo es dirigido, entonces se tiene, sin bucles y con bucles, respectivamente:

$C_{D_{ego}}(v)={\frac {\delta (v)}{\max |E|}}={\frac {\delta (v)}{n(n-1)}}\,\,\,$ o bien $\,\,\,C_{D_{ego}}(v)={\frac {\delta (v)}{\max |E|}}={\frac {\delta (v)}{n^{2}}}$

En caso que solo se divida por el número de aristas del grafo en cuestión,​ entonces se obtiene el alcance (en inglés, span) del nodo:​​

$C_{D_{alcance}}(v)={\frac {\delta (v)}{|E|}}$

Centralidades de Katz y Bonacich

Otra generalización de la centralidad de grado es la centralidad de Katz,​ que para un nodo cuenta el número de todos los otros nodos que están conectados con él a través de un camino, al mismo tiempo que se penalizan las conexiones con nodos más distantes por medio de un factor $\beta \in (0,1)$.

Formalmente, sea $A$ la matriz de adyacencia del grafo, y $n$ el número total de nodos, la centralidad de Katz $C_{KATZ}(i)$ de un nodo $i$ se define como:​

$C_{\mathrm {Katz} }(i)=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n}\alpha ^{k}(A^{k})_{ji}$

donde $e_{i}^{T}$ es un vector fila cuyo $i$-ésimo elemento es 1 y el resto son 0, y 1 es un vector de puros unos. Esta medida está relacionada con la centralidad de vector propio.​

Una pequeña variación de la centralidad de Katz está dada por la centralidad de Bonacich,​ la cual permite valores negativos para el factor $\beta$:

$C_{BON}(i)=e_{i}^{T}({\frac {1}{\beta }}\sum _{k=1}^{\infty }(\beta A)^{k}){\mathbf {1} }={\frac {1}{\beta }}\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{n}\beta ^{k}(A^{k})_{ij}$

De este modo el peso negativo permite restar los caminos de número par de los de número impar, lo cual es interpretable en redes de intercambio.​​

Centralidad de Hubbell

Una generalización que incluye a las centralidades de Katz y Bonacich es la centralidad de Hubbell,​ definida formalmente como:

$C_{HUB}(i)=e_{i}^{T}(\sum _{k=0}^{\infty }X^{j}){\mathbf {y} }$

donde $X$ es una matriz e ${\mathbf {y} }$ un vector. Si $X=\beta A$ y ${\mathbf {y} }=\beta A{\mathbf {1} }$ se obtiene la centralidad de Katz, y si $X=\beta A$ y ${\mathbf {y} }=A{\mathbf {1} }$, se obtiene la centralidad de Bonacich.​

Véase también

• Centralidad
• Grado (teoría de grafos)

Bibliografía

• Wasserman, Stanley; Faust, Katherine (2013) [1994]. Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. ISBN 978-84-7476-631-8. OCLC 871814053.