Número cuadrado triangular

El número cuadrado triangular 36, representado como número triangular y como número cuadrado.

En matemáticas, un número cuadrado triangular (o número triangular cuadrado) es un número que es tanto un número triangular como un cuadrado perfecto.

Hay infinitos números triangulares cuadrados; los primeros son:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, (sucesión A001110 en OEIS).

Fórmulas explícitas

Escribiendo N_k para el k-ésimo número cuadrado triangular, y s_k y t_k para los lados de los correspondientes cuadrado y triángulo, se tiene que:

$N_{k}=s_{k}^{2}={\frac {t_{k}(t_{k}+1)}{2}}.$

Se define la raíz triangular de un número triangular $N={\frac {n(n+1)}{2}}$ para que sea $n$. De esta definición y de la fórmula cuadrática, se tiene que $n={\frac {{\sqrt {8N+1}}-1}{2}}.$ Por lo tanto, $N$ es triangular si y solo si $8N+1$ es un cuadrado.

En consecuencia, un número $M^{2}$ es cuadrado y triangular si y solo si $8M^{2}+1$ es cuadrado. Por ejemplo, hay números $x$ e $y$ tales que $x^{2}-8y^{2}=1$. Esto es una consecuencia de la ecuación de Pell, con $n=8$. Todas las ecuaciones de Pell tienen la solución trivial (1,0), para cualquier n; esta solución se llama cero-ésima, y es indexada como $(x_{0},y_{0})$. Si $(x_{k},y_{k})$ denota la k-ésima solución no trivial a cualquier ecuación de Pell para un n particular, puede ser demostrado por el método de descenso que $x_{k+1}=2x_{k}x_{1}-x_{k-1}$ y $y_{k+1}=2y_{k}x_{1}-y_{k-1}$.

Por lo tanto, existe una infinidad de soluciones a cualquier ecuación de Pell para la que hay una no trivial, cuando n no es un cuadrado. La primera solución no trivial cuando n = 8 es fácil de encontrar: es (3,1). Una solución $(x_{k},y_{k})$ a la ecuación de Pell para n = 8 produce un número triangular cuadrado y sus raíces cuadradas y triangulares como sigue: $s_{k}=y_{k},t_{k}={\frac {x_{k}-1}{2}},$ y $N_{k}=y_{k}^{2}.$ Por lo tanto, el primer número triangular cuadrado, derivado de (3,1), es 1, y el siguiente, derivado de (17,6) (= 6 × (3,1) - (1,0)), es 36.

Las secuencias N_k, s_k y t_k son las secuencias OEIS A001110, A001109 y A001108 respectivamente.

En 1778 Leonhard Euler determinó la fórmula explícita​​

$N_{k}=\left({\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}\right)^{2}$

Otras fórmulas equivalentes (obtenidas mediante la ampliación de esta fórmula) que pueden ser convenientes incluyen:

${\begin{aligned}N_{k}&={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{2k}-(1-{\sqrt {2}})^{2k}\right)^{2}={1 \over 32}\left((1+{\sqrt {2}})^{4k}-2+(1-{\sqrt {2}})^{4k}\right)\\&={1 \over 32}\left((17+12{\sqrt {2}})^{k}-2+(17-12{\sqrt {2}})^{k}\right).\end{aligned}}$

Las fórmulas explícitas correspondientes a s_k y t_k son ​

$s_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}-(3-2{\sqrt {2}})^{k}}{4{\sqrt {2}}}}$

y

$t_{k}={\frac {(3+2{\sqrt {2}})^{k}+(3-2{\sqrt {2}})^{k}-2}{4}}.$

Ecuación de Pell

El problema de encontrar números cuadrados triangulares se reduce a la ecuación de Pell de la siguiente manera.​ Cada número triangular es de la forma t (t + 1) / 2. Por lo tanto, se buscan enteros t, s tales que

${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$

Con un poco de álgebra esto se convierte en:

$(2t+1)^{2}=8s^{2}+1$

y dejando que x = 2t + 1 e y = 2 s, se obtiene la ecuación diofántica

$x^{2}-2y^{2}=1$

que es una forma de la Ecuación de Pell. Esta ecuación particular es resuelta por los números de Pell P_k como​

$x=P_{2k}+P_{2k-1},\quad y=P_{2k}$

y por lo tanto todas las soluciones están dadas por:

$s_{k}={\frac {P_{2k}}{2}},\quad t_{k}={\frac {P_{2k}+P_{2k-1}-1}{2}},\quad N_{k}=\left({\frac {P_{2k}}{2}}\right)^{2}$

Hay muchas identidades sobre los números de Pell que se traducen en identidades sobre los números cuadrados triangulares.