En matemáticas, específicamente en teoría de medidas, la medida de conteo es una forma intuitiva de poner una medida en cualquier conjunto: el "tamaño" de un subconjunto se considera el número de elementos en el subconjunto si el subconjunto tiene un número finito de elementos e infinito
si el subconjunto es infinito. [1]
La medida de conteo se puede definir en cualquier espacio mensurable (es decir, cualquier conjunto
junto con sigma-álgebra) pero se usa principalmente en conjuntos contables. [1]
En notación formal, podemos convertir cualquier conjunto
en un espacio medible tomando el conjunto de potencias de
como el álgebra sigma
es decir, todos los subconjuntos de
son conjuntos medibles. Entonces la medida de conteo
en este espacio mensurable
es la medida positiva
definido por
![{\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}\vert A\vert &{\text{if }}A{\text{ is finite}}\\+\infty &{\text{if }}A{\text{ is infinite}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8681d8e9a092f05faaaf47db0f8d4cbea447752)
para todos
![{\displaystyle A\in \Sigma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1aae6b26b1fb89e81482b908ca3f164985e58ea)
dónde
![{\displaystyle \vert A\vert }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e452c00372a18f4de3b3abf77377bfa176d628d)
denota la
cardinalidad del conjunto
[2]
La medida de conteo en
es σ-finito si y sólo si el espacio
es contable. [3]
Integración en
con medida de conteo[editar]
Toma el espacio de medida
, dónde
es el conjunto de todos los subconjuntos de los naturales y
la medida de conteo. Tome cualquier mensurable
. Como se define en
,
se puede representar puntualmente como
![{\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)1_{\{n\}}(x)=\lim _{M\to \infty }\underbrace {\ \sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\ } _{\phi _{M}(x)}=\lim _{M\to \infty }\phi _{M}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08b0b080156ac4f07eb949b7997f2c517dcbc7ba)
Cada
![{\displaystyle \phi _{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b050b56c08254607f52f77c1e4c09cfc7a301e)
es mensurable. Además
![{\displaystyle \phi _{M+1}(x)=\phi _{M}(x)+f(M+1)\cdot 1_{\{M+1\}}(x)\geq \phi _{M}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77eb39da89735fad990a943e3e44173841308db5)
. Aún más, como cada
![{\displaystyle \phi _{M}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b050b56c08254607f52f77c1e4c09cfc7a301e)
es una función sencilla
![{\displaystyle \int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\int _{\mathbb {N} }\left(\sum _{n=1}^{M}f(n)1_{\{n\}}(x)\right)d\mu =\sum _{n=1}^{M}f(n)\mu (\{n\})=\sum _{n=1}^{M}f(n)\cdot 1=\sum _{n=1}^{M}f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0cce8bbdcadc8264d1276efd5d3efa23cc4ba4)
Por tanto, según el teorema de convergencia monótona
![{\displaystyle \int _{\mathbb {N} }fd\mu =\lim _{M\to \infty }\int _{\mathbb {N} }\phi _{M}d\mu =\lim _{M\to \infty }\sum _{n=1}^{M}f(n)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f47ed2f3dfc36144214b1ad9c55b53d6212996)
La medida de conteo es un caso especial de una construcción más general. Con la notación anterior, cualquier función
define una medida
en
a través de
![{\displaystyle \mu (A):=\sum _{a\in A}f(a)\quad {\text{ for all }}A\subseteq X,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39e84949b904cd9dcb9a5c6a147347019fbaa9a)
donde la suma posiblemente incontable de números reales se define como el
supremo de las sumas de todos los subconjuntos finitos, es decir,
![{\displaystyle \sum _{y\,\in \,Y\!\ \subseteq \,\mathbb {R} }y\ :=\ \sup _{F\subseteq Y,\,|F|<\infty }\left\{\sum _{y\in F}y\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d444378123c1d9aa248c37aab38eea1711f20e)
Tomando
![{\displaystyle f(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea78f54e69b72f398cf6077e61c50a05b532d4c0)
para todos
![{\displaystyle x\in X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
da la medida de conteo.
Referencias[editar]