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Busca fuentes: «Matriz diagonal» – noticias · libros · académico · imágenes Este aviso fue puesto el 5 de abril de 2021. |
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuyos elementos fuera de la diagonal principal son todos cero; el término usualmente hace referencia a matrices cuadradas. Un ejemplo de una matriz diagonal de tamaño
es
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}3&0\\0&2\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1fc114c38676f8cdceaa764f7f7edd83a2e4e7)
mientras que un ejemplo de una matriz de tamaño
es
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}6&0&0\\0&7&0\\0&0&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f376cb4685f56d5023ef4a47de0f32ec62e05a0d)
La matriz identidad de cualquier tamaño o cualquier múltiplo de ella (una matriz escalar) es una matriz diagonal.
La matriz
con
columnas y
renglones es diagonal si
![{\displaystyle d_{i,j}=0\;{\mbox{si}}\;i\neq j\quad \forall \;i,j\in \{1,2,\dots ,n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57052b388a11b53975c9bccd2301a0ff9932930)
Los elementos de la diagonal principal de la matriz
pueden tomar cualquier valor.
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Operaciones vectoriales[editar]
Multiplicar un vector por una matriz diagonal implica multiplicar cada elemento del vector por el elemento correspondiente de la diagonal. Dada una matriz diagonal
y un vector
el producto es:
![{\displaystyle D\mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73104120e12f1d0d080212deb18b7251b3f243a4)
Operaciones matriciales[editar]
Las operaciones de suma y multiplicación entre matrices diagonales son muy sencillas. Considere dos matrices diagonales del mismo tamaño
y
.
Para la suma de matrices diagonales se tiene
![{\displaystyle {\begin{aligned}D+B&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}+b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}+b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\dots ,a_{n}+b_{n})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbad1d4ac61ed2872bb802b27c830496319b48e2)
y para el producto de matrices,
![{\displaystyle {\begin{aligned}DB&=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},\dots ,b_{n})\\&={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\&\ddots \\&&b_{n}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}b_{n}\end{bmatrix}}\\&=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\dots ,a_{n}b_{n})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e6ecc5194e82722c5ac9dc73c9cca31d7dbba98)
La matriz diagonal
es invertible si y sólo si las entradas
son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
![{\displaystyle D^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\dots ,a_{n}^{-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a8ad33deb54a8711b93bb82f6e3e4da44b62d2)
En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de
.
Multiplicar la matriz
por la izquierda con
equivale a multiplicar la
-ésima fila de
por
para todo
. Multiplicar la matriz
por la derecha con
equivale a multiplicar la
-ésima columna de
por
para todo
.
Propiedades[editar]
- El determinante de
es igual al producto
.
- La adjunta de una matriz diagonal es también una matriz diagonal.
- La matriz identidad
y la matriz cero son matrices diagonales.
- Los autovalores de
son
.
- Los vectores
forman una base de autovectores.
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios, siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véase teorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.